결합정규분포 가격결정모형 연구

Abstract

Mandelbrot (1963)과 Fama (1965) 이래로 금융상품의 수익률이 정규분포보다 꼬리가 무거운 확률분포를 따른다는 것이 알려져 있다. 그럼에도 불구하고, 수 많은 연구들이 수학적 편의성에 의해서 수익률이 정규분포를 따른다는 가정을 바탕으로 이론을 전개한다. Rubinstein (1994)은 정규성 가정 하에서 구한 주가의 내재변동성(implied volatility)이 변동성 스마일(volatility smile)이나 변동성 스큐(volatility skew) 현상이 있음을 보였다. 이는 옵션의 잔존기간 동안 변동성이 상수라는 Black-Scholes 가정이 현실적이 아니고, Black-Scholes 모형 역시 시장을 잘 반영하지 못한다는 것을 의미한다. 본 연구는 수익률이 정규분포 대신 혼합정규분포(mixed normal distribution)를 따른다고 가정하면, 기초자산의 변동성 스마일이나 변동성 스큐가 축소하는지를 살펴보고자 한다. 기초자산 수익률이 혼합정규분포를 따른다고 가정하면, 기초자산의 변동성을 혼합정규분포를 구성하는 정규분포의 평균들로 이루어진 성분과 분산들로 이루어진 부분으로 나눌 수 있다. 또한, 이 평균들로 이루어진 성분은 항상 비음(+)이다. 따라서, 이론적으로 혼합정규분포에 의한 변동성 스큐는 정규분포에 의한 변동성보다 완만할 것이다. 본 연구에서는 EM알고리즘을 사용해서 KOSPI에 적합한 혼합정규분포의 모수들을 식별하여 추정하고, 이를 바탕으로 위험중립확률측도를 구한다. KOSPI 수익률의 변동성을 위험중립확률측도의 모수들의 함수로 나타내어, 변동성곡면을 그린다. 또한, 기초자산의 수익률이 정규분포를 따른다는 가정 하에 Fengler (2005)를 바탕으로 KOSPI의 차익거래의 기회가 없는 국소변동성곡면을 그린다. 그리고 기초자산의 수익률이 혼합정규분포를 따른다는 가정 하에 국소변동성곡면을 그린다. KOSPI의 정규분포를 바탕으로 한 내재변동성곡면, 혼합정규분포를 바탕으로 한 내재변동성곡면, 정규분포를 바탕으로 한 국소변동성곡면, 그리고 혼합정규분포를 바탕으로 한 국소변동성곡면을 도출한다. 이렇게 나타낸 국소변동성곡면들은 혼합정규분포를 바탕으로 한 내재변동성곡면과 비슷한 형태를 보이며, 이들은 정규분포를 바탕으로 한 내재변동성곡면보다 완만함을 알 수 있다. 특히, 행사가격에 대한 변동성곡선이 그리는 변동성스마일이 훨씬 완화됨을 알 수 있다.

One of the major empirical characteristics of financial markets is known to be non-Gaussian. Mandelbrot(1963) presented and tested the stable Paretian model to replace the Gaussian distributions. Fama(1965) showed asset returns are leptokurtic and skewed.. He examined the model suggested by Mandelbrot(1963) and concluded the past history of stock prices could not well support the normality assumption. The research examines stock market data to discuss the normality assumption of Black-Sholes(1973) model. The paper proposes the Gaussian mixture model as an alternative to other non-Gaussian distributions for pricing derivatives. The study develops and simulates a new kernel density, derived from optimized Gaussian mixture, to ameliorate the performance of the classic option pricing theory. The paper tests and suggests optimized Gaussian mixture model by varying period length of basis asset data. The research compares the suggested model with other non-Gaussian distributions. The study elaborates a new kernel density, derived from the Gaussian mixture, to augment the classic option pricing theory. The research analyzes the implied volatility of the mixture model to explain how the volatility smile effect of the Black-Scholes is improved by the Gaussian mixture model. The paper suggests the Gaussian mixture model to price plain vanilla and exotic options such as barrier options. In recent years, it has become increasingly important to describe the financial markets with non-Gaussian distributions or stochastic volatility. The thesis proposes the optimized Gaussian mixture model to the practitioners and investors as a preference for modeling financial markets.