함수의 연속 개념의 역사적 고찰

Abstract

본 논문은 함수의 연속에 대한 학생들의 관념과 학문수학의 개념의 차이에 대한 여러 논문들의 보고에 대한 관심으로부터 출발하여 다음과 같이 두 가지 연구 문제를 설정했다. 첫 번째는 함수의 연속에 대한 학문수학과 학교수학 그리고 학생들의 개념이 어떻게 다른가 하는 것이다. 그리고 두 번째는 연속에 대한 학생들의 관념과 학문수학의 개념이 다르다면 학생들은 왜 그러한 관념을 갖게 되었으며, 또 학문수학은 왜 현대적인 연속의 개념을 갖게 되었는지를 탐구하는 것이다. 첫 번째 연구문제를 위해 학문수학의 해석학과 위상수학의 함수의 연속의 정의와 교육과정, 교과서, 그리고 학생들의 연속의 개념을 비교하였고, 두 번째 연구문제에 답하기 위해 함수의 연속의 역사적 발달 과정과 아리스토텔레스 철학의 연속의 개념을 고찰하였다. 학생들은 한 개의 식 또는 끊어지지 않고 이어진 곡선으로 함수의 연속을 생각하고 있었는데 그것은 학문수학의 개념과는 차이가 있었지만 역사적으로 수학자들이 연속의 개념을 현대적으로 정립하기까지 겪었던 과정과 비슷하다. 따라서 이러한 현상을 오류로서 보기보다는 학문수학의 연속의 개념을 학습하기 위한 하나의 관문으로 바라볼 필요가 있다. Leibniz와 Euler, Fourier 등에 의해 함수의 연속 개념은 조금씩 변화하였으며, 19세기 Cauchy와 Weierstrass에 의해 엄밀성과 산술화가 부여되었다. Cauchy와 Weierstrass는 공간적 직관으로부터 출발한 미적분학에 산술적 해석을 함으로써 수학이 공간에서 탈피하도록 하였다. 그리고 이 산술화가 가능한 것은 집합론의 발달 덕분이었다. Grabiner와 Lakatos, Koetsier는 함수의 연속에 대한 Cauchy의 업적을 혁명적인 것으로 보았다. 역사적으로 수학자들에게도 함수의 연속에 대한 산술화된 의 방법은 혁명이라고 불릴 정도로 충격적이고, 새로운 이론이었으며, 이것은 교육적으로 시사하는 바가 크다. 수학자들에게도 혁명적이었던 학문 수학적 개념을 학생들에게 제시하고 그것이 바로 함수의 연속의 정의라고 말을 한다면 학생들은 왜 그런지 모른 채 수학을 해야 하고 수학에 대한 반감을 우려가 있다. 역사적 고찰의 일부로 연속에 대해 체계적 정리를 시도했던 아리스토텔레스의 정의를 살펴보았다. 아리스토텔레스에게 진정한 연속의 의미는 분할불가능한 하나의 전체로 보인다. 그리고 그러한 연속의 개념은 Cantor의 연속체의 개념과도 매우 유사하며 몇몇 논문들은 학문수학의 연속의 개념에 영향을 주었다고 보고하고 있다. 아리스토텔레스의 연속은 공간상에서 상대적인 위치를 갖는 부분들이 공통의 경계에서 닿아 있는 것으로 표현됨을 보았다(유재민, 2014). 이러한 아리스토텔레스의 연속의 정의는 학문수학적인 정의와는 다르지만, 학생들의 연속의 관념과 많은 면에서 비슷한 양상을 보였다. 아리스토텔레스의 연속에 대한 고찰을 통해 학생들뿐만 아니라 철학자들 그리고 우리 일반인들이 일상생활 속의 또는 자연의 연속에 대해 어떤 관념을 갖고 있는지 살펴 볼 수 있었으며 그것이 학문수학의 연속과 다른 양상으로 나타난다는 것도 알 수 있었다. 따라서 학생들의 관념을 오류로서가 아닌 다른 목적과 필요에 의한 관점으로 보아야 하며, 동시에 교수와 학습을 계획할 때 이 점을 주지할 필요가 있다. 연속 개념의 역사적 발달과정과 아리스토텔레스의 정의에 대한 고찰은 학교 수학에도 몇 가지 시사점을 주었다. 첫째로 산술화된 학문수학의 연속의 개념은 시각적인 연속의 관념이나, 사전의 연속의 정의와도 차이가 있었으며, 시각적 이미지와 다른 연속의 학문적 정의는 학생들의 개념학습에 장애로 작용할 수도 있다는 사실을 살펴보았다. 두 번째로, 함수의 연속에 대한 학생들의 관념과 학문수학의 개념은 수학적 사고의 수준에서 차이가 있다는 것을 보았다. Tall과 Katz(2014)의 수학적 사고 발달의 세 단계는 개념적 구체화, proceptual 상징주의, 공리적 형식주의로 나타난다. 그리고 학생들은 기하학적이며 연결성에 기초한 연속의 개념을 가지고 있으며 개념적 구체화의 수준에 머물러 있는 반면 학문수학의 연속의 개념은 엄밀한 형식화의 수준이다. 개념적 구체화 수준의 학생들에게 세 번째 수준의 형식적인 정의를 바로 제시한다면 이해하기 어려울 뿐 아니라 좋은 학습이 일어나기도 어렵다. 따라서 학생들의 인지 상태와 사전에 갖고 있는 지식을 교수와 학습이 일어나기 전에 알아보고 그것을 출발점으로 삼아야 한다.