형식적 증명에 대한 수준별 지도 방안 연구

Abstract

수준별 수업은 학생의 능력과 특성을 고려한 수업 방법 중 하나이다. 따라서 수준별 수업은 학습 내용 특성, 학생의 인지 수준 등을 고려하여 유연하게 적용하여야 한다. 그러나 지금까지의 우리나라 수준별 수업은 학급으로 구분하여 적어도 두세 달 동안은 고정적으로 유지되어 운영되어 왔다. 실제로 이러한 수준별 수업의 효과에 있어서 긍정적인 연구결과도 있지만 부정적인 연구결과 역시 많이 있다. 본 연구는, 수준별 수업이 필요한 상황과 방법에 대한 분석이 필요하다는 문제의식으로부터 출발하였다. 교과내용에 따라 필요한 경우에만 수준별 수업을 실시할 수 있고 학생들의 의견을 존중하여 집단을 나눌 수 있다는 점에서, 학급 내 수준별 수업이 기존 수준별 수업의 단점을 보완하고 그 취지를 살릴 수 있다는 가설을 설정하였다. 이 가설을 검증하기 위하여 형식적 증명을 다루고 있는 근의 공식을 수준별 수업의 주제로 택하여 실험을 하였다. 수학적 증명은 몇 가지 구체적인 상황을 관찰하여 추측하는 것이 아니라 수학적 추론을 통해 가정을 만족하는 모든 경우에 명제가 성립함을 보이는 것이기 때문에 일반화를 할 수 있는 사고 능력이 중요하다. 특히 형식적 증명은 추론과정에서 일반화를 할 뿐만 아니라 표현에 있어서도 문자와 같이 일반성을 내포하는 언어를 사용한다. 기존의 증명 수준 이론들에 따르면 각각의 사례를 관찰하는 수준과 사례를 통해 일반성을 인식할 수 있는 수준, 그리고 형식적 증명을 할 수 있는 수준을 서로 구분할 수 있으며, 적절한 교수가 없이는 낮은 수준에 있는 학생이 더 높은 수준의 증명을 이해하기 어렵다. 따라서 학생의 일반화 능력에 따라 근의 공식 유도를 차별화하여 지도해야할 필요가 있다. 본 연구는 먼저, 증명 수준 이론을 토대로 학습지를 세 수준으로 구분하여 제작하고 예비 실험을 실시하였으며, 그 결과를 바탕으로 학습지를 보완하여 본 수업 실험을 실시하였다. 본 수업 실험에서 학생들은 자신의 선행 학습내용 이해 정도와 문자 이해 수준을 바탕으로 스스로 학습지를 선택하였고, 같은 학습지를 선택한 학생들끼리 모여 근의 공식 유도 내용을 학습하였다. 실험 결과 학생들은 학습지 활동에 적극적으로 참여하였으며, 수업 후에는 각자의 표현을 사용하여 근의 공식의 의미를 설명할 수 있었다. 또한 교사는 수준별 학습지 활동 시간에 도움이 필요한 학생에게 좀 더 집중하여 지도할 수 있었다. 추가적인 인터뷰를 통해 학생들이 자신의 수준에 맞는 학습지 활동에 만족함을 확인할 수 있었다.