유사 선형 구간에서 라플라스-푸리에 영역 파형역산의 정량적 분석

Abstract

성공적인 지하구조 영상화를 위해 정확한 지하 속도 모델 구축은 필수적이다. 지하 속도모델을 추정하기 위해 전통적인 방법으로 반사파 토모그래피, 구조보정 속도 분석 등의 방법이 있지만 이런 전통적인 방식은 사용자의 선택에 좌우되는 주관적인 결과를 주며, 낮은 해상도의 결과물을 제공한다. 반면 파동 방정식을 기반으로 탐사자료의 모든 파형을 고려하는 완전파형역산은 기존의 방식보다 높은 해상도와 상대적으로 객관적인 결과를 제공한다. 하지만 완전파형역산은 초기속도모델에 민감한 문제를 가지고 있다. 일반적으로 사용하는 주파수 영역 파형역산은 취득된 자료의 저주파수 성분의 부재로 이러한 초기속도모델에 대한 민감한 문제를 직접적으로 해결할 수 없다. 하지만 복소 주파수를 사용하여 감쇠된 파동장을 활용하는 라플라스-푸리에 영역 파형역산은 기존의 주파수 영역 파형역산보다 이러한 초기속도모델 문제에 대하여 덜 민감하고 취득된 자료의 저주파수 성분이 없어도 장파장 속도모델 을 구축할 수 있다는 장점이 있다. 이러한 이유는 감쇠된 파동장의 저주파수 성분이 새롭게 생성되고 속도 모델의 그래디언트가 평활화되는 경향을 가지기 때문이라는 연구결과가 나와 있다. 하지만 저주파수의 생성과 단순히 장파장 성분의 그래디언트가 계산된다는 이유로 기존의 주파수 영역 파형역산 보다 라플라스-푸리에 영역 파형역산이 우수하다는 것은 단지 현상에만 입각한 분석이며 저주파수 성분 외의 자료에 대한 분석이 부족하다. 따라서 본 연구는 기존에 적용된 적 없던 라플라스-푸리에 영역과 주파수 영역의 모델 분해 행렬의 비교 및 분석과 각 영역에서의 자코비안 행렬의 특이값 분해를 통해 수치적으로 라플라스-푸리에 영역 파형 역산이 주파수 영역 파형역산보다 우수한 성능을 보이는지 명확 하게 분석하였다. 모델 분해 행렬은 선형 시스템의 안정성과 추정한 물성치가 얼마나 실제 물성치와 비슷한지를 판별하는 도구로서 지구물리학 외에 다양한 분야에서 많이 사용되고 있다. 본 연구는 저주파수를 사용할 수 없는 실제 상황을 고려하여 기존의 주파수 영역과 라플라스-푸리에 영역에서의 모델 분해 행렬을 비교하여 많은 복소 주파수를 사용할 때 그 성능이 가장 우수할 수 있다는 것을 확인하였다. 특이값 분해 또한 선형 혹은 비선형 시스템의 특징을 파악하는데 사용되는 도구로써 본 연구에서는 주파수 영역과 라플라스-푸리에 영역에서 구성되는 자코비안 행렬에 특이값 분해를 적용하여 그 특이값들을 분석하였다. 실험 결과, 모든 경우에서 라플라스-푸리에 영역 자코비안 행렬의 특이값들이 주파수 영역의 값보다 유의미한 값들을 많이 가지는 것을 확인할 수 있었다. 결과적으로, 저주파수를 사용하지 않는 경우에서 라플라스-푸리에 영역 파형역산이 기존의 주파수 영역 파형역산보다 우수할 수 있는 이유는 다양한 라플라스 감쇠 상수를 사용함으로써 제한된 자료에 다양한 변화를 주고 선형 독립 기저인 벡터들로 자코비안 행렬을 재구성하기 때문이다. 즉, 기존의 주파수 영역의 자코비안 행렬보다 라플라스-푸리에 영역의 자코비안 행렬은 상대적으로 많은 선형 독립 기저들로 구성되고, 이는 추정하고자하는 모델의 부분 공간을 더욱 많이 생성하게 되는 것이다. 또한 상대적으로 큰 특이값들로 구성된 라플라스-푸리에 영역 자코비안 행렬은 가우스-뉴턴법에 근거하여 모델을 추정할 경우, 헤시안 행렬의 역행렬 계산도 안정적으로 수행될 수 있음을 의미한다. 본 연구를 통해 기존의 주파수 대역을 복소 주파수로 사용함으로써 자료의 다양성을 늘리고 저주파수를 사용하지 않는 경우에서도 파형역산을 안정적으로 수행할 수 있다는 새로운 연구결과를 제시한다.