On the small data scattering problem for the fractional Schrödinger equation with cubic Hartree-type nonlinearity

Abstract

이 논문에서는 삼차 하트리 비선형 분수차 슈뢰딩거 방정식의 초깃값 문제에 관한 세 가지 주제를 다룬다.<br/> <br/> 첫 번째와 두 번째 주제는 낮은 정칙성 조건에서 해의 존재성, 유일성과 산란성에 관한 연구이다. 각에 대한 대칭성 또는 각에 대한 정칙성이 초깃값에 주어지고 크기가 충분히 작은 경우, 질량 임계 방정식의 해의 존재성과 산란성을 척도 불변 함수 공간에서 보였다. 초깃값이 척도불변 함수 공간보다 낮은 정칙성을 갖는 경우에 대해서는 해가 존재 하지 않는 다는 것을 보임으로써, 우리가 얻은 결과가 최적이라는 것을 보였다. 이를 증명하기 위해 선형, 이중선형 부등식과 이차변동이 유계인 함수들의 공간에 관한 이론이 적용되었다.<br/> <br/> 세 번째 주제는 퍼텐셜이 쿨롬 형태인 방정식의 수정된 산란성에 관한 연구이다. 이런 형태의 방정식은 "임계 산란성" 문제라고 불린다. 우리는 해의 비선형적인 점근적 행동을 분석하고 적절히 수정함으로써, 시간이 흐름에 따른 해의 산란성을 묘사하였다. 이를 보이기 위해 시간에 따른 감소 비율 부등식과 가중 부등식이 정밀하게 계산되었다. 이 부등식을 적용하고 승수가 0이 되는 구조를 분석함으로써, 해에 관한 푸리에 공간에서의 점근적인 해석이 이루어졌다.