Pseudodifferential Calculus on Noncommutative Tori. Resolvents and Complex Powers of Elliptic Operators

Abstract

약 40여년 전 알랭 콘은 $C^*$-동역학계 위의 의미분 작용소를 도입했으며, 이는 비가환 원환면 위의 의미분 작용소 또한 포함한다. 그리고 최근 콘-트랫코프의 논문을 기폭제로 활발히 연구되고 있는 비가환 원환면의 미분기하학 연구에 콘이 도입한 의미분 작용소가 매우 널리 쓰이고 있다. 또한 매개변수를 갖는 비가환 원환면 위의 의미분 작용소, 의미분 작용소들의 복소해석적인 모임 그리고 타원형 의미분 작용소의 복소수 거듭제곱과 같은 개념들 역시 비가환 원환면의 미분기하학 연구에 매우 중요한 역할을 한다. 그러나 이 개념들에 대한 자세한 서술이 된 문헌은 비교적 최근까지 없었다.<br/> <br/> 본 학위논문에서는 이 개념들에 대한 자세한 서술을 함으로서 콘-트랫코프 논문으로부터 촉발된 연구에 도움을 주는 것을 목표로 한다. 우선 처음으로, 비가환 원환면 위의 의미분 작용소에 대한 정확한 설명을 한다. 이를 위해 비가환 원환면에 대한 진동 적분을 정의하는데, 이는 비가환 원환면 위의 의미분 작용소의 기본적인 성질을 다루는 데도 도움이 된다. 두 번째로 우리는 비가환 원환면 위의 매개변수를 갖는 의미분 작용소를 정의하고 공부하며, 타원형 의미분 작용소의 역핵이 실제로 매개변수를 갖는 의미분 작용소가 됨을 증명한다. 본 학위논문의 마지막 목표는 의미분 작용소들의 복소해석적인 모임을 공부하고 타원형 의미분 작용소의 복소수 거듭제곱을 구성하는 것이다. 특히, 타원형 의미분 작용소의 복소수 거듭제곱이 의미분 작용소의 복소해석적인 모임이 되는 것을 보이고자 한다.