Toeplitz and Hankel operators with symbols of measures

Abstract

The main topics covered in this thesis are the definitions of Toeplitz and Hankel operators with symbols of complex Borel measures and their various properties.

When a complex Borel measure $\mu$ on the unit circle is given, we define a Toepllitz operator $T_{\mu}$, whose symbol is $\mu$, as an unbounded linear operator on $H^{2}$.

In that case, $T_{\mu}$ may not be densely defined.

Nevertheless, we see that the domain of $T_{\mu}$ has always a special form.

The central question in this thesis is to ask when the Toeplitz operator $T_{\mu}$ defined as a linear operator is bounded on its domain.

The answer to this question is related to the compatibility of the symbol $\mu$:

$T_{\mu}$ is bounded if and only if $\mu$ is a Carleson measure on $\T$, when the domain of $T_{\mu}$ contains all polynomials.

In addition, we investigate a connection between trigonometric moment problem and Toeplitz operators with symbols of complex Borel measures.

We also provide corresponding definitions for Hankel operators, and then vertify various properties.

이 학위 논문에서 다루는 내용은 심벌이 보렐 측도인 토에플리츠와 한켈 작용소의 정의와 그들이 갖는 여러 가지 성질들이다.

단위원 상의 측도 $\mu$ 가 주어져 있을 때, 이를 심벌로 갖는 토에플리츠 작용소 $T_{\mu}$ 를 하디 공간 $H^{2}$ 상의 (비유계) 선형 작용소로서 정의한다.

이 때, $T_{\mu}$ 는 조밀하게 정의되지 않을지도 모른다.

그렇지만, $T_{\mu}$ 의 정의역이 항상 특별한 형태를 갖는다는 것을 확인하다.

이 논문의 중심적인 질문은 선형 작용소로 정의한 토에플리츠 작용소 $T_{\mu}$ 가 언제 그 정의역에서 유계인지 묻는 것이다.

이 질문에 대한 답은 측도의 호환 가능성과 관련이 있다는 것을 보인다:

$T_{\mu}$ 의 정의역이 다항식을 포함하는 경우, $T_{\mu}$ 가 그 정의역에서 유계일 필요충분조건은 심벌 $\mu$ 가 단위원 상의 칼레슨 측도인 것이다.

다른 하나의 질문은 측도를 심벌로 갖는 토에플리츠 작용소는 함수를 심벌로 갖는 토에플리츠 작용소와 얼마나 다른지 묻는 것이다.

이 질문에 대한 답으로, 단위원 상의 측도 $\mu$ 가 르벡 측도에 대하여 특이 측도이면, 많은 경우 작용소 $T_{\mu}$ 는 자명한 작용소인 것을 보인다.

또한, 단위원 상의 보렐 측도를 심벌로 갖는 토에플리츠 작용소들과 삼각 모멘트 문제의 관련성을 연구한다.

한켈 작용소에 대해서도 대응되는 정의를 제시하고 여러 가지 성질들을 확인한다.