대학생의 증명 발표에서 나타난 교수자와 학생의 권위에 대한 연구

Abstract

Proof is an essential topic at the undergraduate mathematics education. Since proof is generally handled in the social context, it is necessary to shed light on social activities in the teaching and learning of proof. Proof presentation is a way to explore social activities in a practical class at the undergraduate level. The process of determining the truth or falsehood of the proof is substantially affected by the authority of the proof author. Although there are differences between experts and novices in ways of proof reading, they are often influenced by the authority of experts. However, the expert authority has been mainly dealt with in the area of teaching and learning of proof. Authority in the context of mathematics education is posited as the concept including the expert authority as well as the shared authority in the practical class. Previous research focused on the discourse analysis of the instructor and students to explore authority. Also, they primarily focused on one subject such as the authority of the instructor or the authority of students. The authority of both the instructor and the students needs to be explored in the context of shared authority. Therefore, in this study, students proof presentations are designed to examine the shared authority. This study was conducted in a number theory course, which is not affected by the hierarchy of the subject at the undergraduate level. This class is designed for students to learn the definitions, theorems and proofs that will be handed out in class in an out-of-class environment and the actual classroom is designed to focus on students proof presentations and discussions. The presenters explained their proofs and answered questions with the audience. The instructor controlled both studentspresentations, questions and answers. In this class environment, the presenters proof presentations, questions and answers, and comments from the instructor were recorded. Also, the students written assignments and Classprep assignments which related to the background of their discussions in class were collected. Based on the framework of authority structures, results of the discourse analysis about the presenters, audience and the instructor in five classes were suggested for the answers to the research questions. First, presenters showed the switched authority to communicate their proofs clearly. The switch from the authority of immanent factors to the authority of transcendent factors was explored for all presenters, and the reverse switch was explored for the majority of the presenters. Presenters showed their switched authority in proving process for presenting contents of the proof and setting a clear direction for their proof presentations. This was for effective communication of the proofs. Second, presenters and audience showed their responses to the authority of the opposite nature during question and answer time. This was to enable presenters and the audience to achieve consensus on the learning contents through questions and answers, and to play their roles as the subject of mathematical learning. Third, the instructor showed the combined authority in students proof presentations. In the process of conveying the expert knowledge of mathematics as well as extending the discussions of proofs, the instructor revealed two opposing authorities simultaneously. This was for the performance of the instructors role in the class where proof presentations were centered. This study is significant in that it examined the concrete aspects of students proof presentations at the undergraduate level. It is also worth noting that the shared authority of both the instructor and students was analyzed specifically.

학부 수준의 수학 교육에서 증명은 핵심적인 주제이다. 증명은 일반적으로 사회적인 맥락에서 다루어지므로, 증명 교수ㆍ학습에서 증명의 사회적 활동을 조망할 필요가 있다. 이를 학부 수준의 실제 수업에서 관찰하기 위해 증명에 관한 의사소통이 활발히 일어나는 증명 발표에 초점을 두어야 할 것이다. 증명의 진위를 판정하는 과정은 증명 작성자의 권위에 상당한 영향을 받는다. 수학자와 학생 사이에 증명을 읽는 방식의 차이가 존재하지만, 증명을 읽는 과정에서 증명 작성자의 권위에 영향을 받는다는 점은 공통적이다. 다만, 증명 교수ㆍ학습 분야의 연구에서 주로 수학 전문가의 권위만을 다뤄왔다. 수학 교육에서의 권위는 수학 전문가의 권위뿐만 아니라 실제 수업에서 발생할 수 있는 공유된 권위 등을 포함하여 보다 포괄적인 관점의 권위를 다룬다. 이러한 권위를 탐구하기 위해 선행 연구는 교수자와 학생의 발화에 초점을 두고 분석을 수행했다. 또한, 교수자의 권위 혹은 학생의 권위와 같이 주로 하나의 대상에 초점을 두었다. 공유된 권위의 맥락에서 교수자와 학생의 권위를 함께 탐구할 필요가 있다. 따라서 이 연구에서는 교수자와 학생의 공유된 권위를 관찰할 수 있도록 학생의 증명 발표가 중심이 되는 수업을 설계하였다. 이 연구는 학부 수준의 교육과정에서 교과의 위계에 영향을 받지 않는 <정수론> 수업에서 수행되었다. 이 수업은 학생이 수업에서 다루게 될 정의, 정리, 증명을 수업 외 환경에서 미리 학습하고, 실제 수업은 학생의 증명 발표와 토론을 중심으로 이루어지도록 설계되었다. 발표자는 자신이 작성한 증명에 관하여 설명하고, 청중과 질의응답 하였다. 더불어 교수자는 학생의 발표와 질의응답의 모든 상황을 통제하였다. 이러한 수업 환경에서 발표자의 증명 발표와 질의응답 그리고 교수자의 코멘트를 비디오 녹화하였다. 또한, 이러한 논의의 배경이 되는 학생의 서면 과제 및 Classprep 과제를 수집하였다. 권위 구조 분석틀을 바탕으로 5차시 분량의 수업에서의 발표자, 청중, 교수자의 담화 분석의 결과를 연구 질문에 대한 답으로 제시한다. 첫째, 발표자는 자신의 증명을 명료하게 전달하기 위해 전환된 권위의 모습을 보였다. 모든 발표자는 내재적 요인에서 외재적 요인의 권위로의 전환의 모습을 보였고, 다수의 발표자들에게서 외재적 요인에서 내재적 요인의 권위로의 전환의 모습을 보였다. 증명 내용, 증명 구성 방법을 설명하거나 자신의 증명 발표의 방향을 명료하게 설정하는 과정에서 발표자의 권위 전환이 포착되었다. 이는 증명에 대한 효과적인 의사소통을 위한 것이었다. 둘째, 발표자와 청중은 질의응답에서 상반되는 성격의 권위가 대응되는 모습을 나타냈다. 이는 질의응답을 통해 발표자와 청중이 학습 내용의 합의를 이끌어내고, 지식을 구성하는 수학 학습의 주체로서의 역할을 수행하기 위한 것이었다. 셋째, 교수자는 학생의 증명 발표에서 결합된 권위의 모습을 보였다. 수학의 전문적인 지식을 전달하는 것뿐만 아니라 논의를 전환하거나 연장하는 과정에서 교수자는 두 가지의 상반되는 성격의 권위를 동시에 드러냈다. 이는 증명 발표가 중심이 되는 수업에서 교수자 역할의 수행을 위한 것이었다. 이 연구는 학부 수준의 교육과정에서 학생의 증명 발표의 구체적인 모습을 관찰하였다는 점에서 의의가 있다. 또한, 교수자 혹은 학생이라는 하나의 대상에 초점을 두고 권위의 분석이 이루어진 것이 아니며, 공유된 권위가 형성된 교실에서 교수자와 학생의 권위가 나타나는 모습을 구체적으로 탐구하였다는 점에 가치가 있다.