도형 패턴 학습 환경을 통한 패턴 일반화 과정에 관한 연구

Abstract

도형 패턴의 일반화는 물리적 구조를 이용하여 대수적 표현을 구하고 정당화할 때 대수적으로 의미 있는 활동이 될 수 있다. 그러나 학생들에게 패턴에서 대수적으로 유용한 구조를 발견하는 것은 쉽지 않은 일이며, 학생들은 패턴을 수열로 변환한 뒤 수치적 규칙을 찾는 구조가 배제된 패턴 발견 활동에 집중하는 경향이 있다. 대부분의 선행연구는 학생들의 일반화 결과를 토대로 해결 전략의 유형이나 옳고 그름에 관한 문제를 주로 다루었을 뿐 일반화 과정 자체에 초점을 둔 연구는 상대적으로 부족하다. 따라서 학생들이 도형적 추론을 통해 패턴을 일반화하는 과정에 대해 자세히 분석할 필요성이 제기되며 과정에서 겪는 어려움의 유형 및 원인, 학습 지원 방안에 관한 연구도 필요하다. 이에 본 연구에서는 중상위권 중학교 3학년을 대상으로 도형 패턴 일반화에 관한 두 가지 연구를 수행하였다. 첫 번째 연구에서는 일반적인 지필 환경 기반의 패턴 일반화 과정에서 학생들의 일반화를 위한 행동과 시각적 주의를 분석하였으며, 학생들이 겪는 어려움의 유형과 원인에 대해 분석하였다. 두 번째 연구에서는 마이크로월드를 활용하여 패턴 일반화의 학습을 지원하고자 했던 구성주의(constructionism) 기반의 선행연구와 첫 번째 연구의 결과를 바탕으로 거북 표현식 기반의 마이크로월드를 설계하고, 설계된 마이크로월드에서 학생들의 일반화 과정을 분석하였다. 연구방법에 있어서는 일반화 과정에서 학생들의 행동과 상호작용을 자세히 분석하기 위하여 안구 운동 자료와 회상자극면담 내용, 필기 등의 전통적인 자료를 상호보완적으로 분석하였다. 첫 번째 연구결과, 학생들이 가추-귀납 단계의 순환을 통해 패턴을 일반화하는 과정에서 수행하는 10가지 행동을 분류하였다. 각 행동의 특성을 분석하였으며 행동들 사이의 상호작용과 가추-귀납 단계에서 각 행동의 역할을 확인하였다. 특히, 패턴의 공간적 분할, 단계 중심의 산술적 관계 검색, 단계 사이의 변화 검색, 패턴 내 요소 사이의 대응은 가추 단계와 귀납 단계 모두에서 중요한 역할을 하는 행동으로 확인되었다. 행동들은 서로 밀접하게 연관되어 상호작용하였으며 동시적으로 나타나기도 하였다. 4단계를 그리는 문항에서는 단계 사이의 전환이 상대적으로 많이 나타났으며 7단계를 구하는 문항에서 대부분의 학생들이 함수적 관계를 찾고 일반화하였기 때문에 반응시간이 가장 길었다. 학생들은 A, AB, ABB, 꼴 패턴에서는 1단계를, 닮은꼴로 성장하는 패턴에서는 2, 3단계를 많이 응시하였으며 패턴을 일반화하는 과정에서 쓰기 영역과 단계 영역 사이의 지속적인 주의 전환이 나타났다. 학생들이 겪는 어려움의 주요 원인은 패턴의 물리적 구조에 대한 부정확한 지각, 일관성 없는 패턴 분할의 사용, 포함-배제 원리 도식의 부재, 패턴과 단절된 규칙의 확장, 변수 개념에 대한 이해 부족, 귀납적 검증의 미실행으로 확인할 수 있었다. 두 번째 연구결과, 거북 은유는 패턴을 분할하고 분할에 대한 관점을 일정하게 유지하는 데 도움을 주었으며 거북 표현은 추상적인 일반화 과정을 구체화함으로써 일반화 절차의 안정적 수행을 지원하였다. 마이크로월드의 시각적 피드백은 학생들이 자신의 일반화를 귀납적으로 점검하고 오류가 있는 경우 규칙을 수정할 수 있는 반성의 기회를 제공하였다. 학생들은 마이크로월드에서의 활동이 내면화되면서 외부적 실행 없이 거북 표현식의 조작과 내적 실행을 통해 가추-귀납적 일반화 과정을 수행할 수 있게 되었다. 즉, 마이크로월드는 대수적으로 의미 있는 일반화 과정을 매개하였다. 이에 연구 1에서 패턴 일반화 수행 정도가 낮았던 4명 중 3명이 마이크로월드에서의 수업을 통해 도형 패턴을 의미 있는 방식으로 일반화할 수 있었다. 그러나 변수에 대한 이해가 부족하고 거북 표현식을 충분히 학습하지 못했던 1명의 학생은 마이크로월드에서도 지필 환경과 유사한 시행착오적 추측과 확인 전략을 사용하였다. 두 가지 연구로부터 도형 패턴의 일반화는 다양한 형태의 행동을 통해 이루어지는 가추-귀납 단계의 순환 과정으로 설명될 수 있음을 확인하였다. 일반화를 위한 행동의 분류는 연구자와 교사에게 학생의 일반화 과정을 구체적으로 분석할 수 있는 이론적 틀로 활용될 수 있다. 대수적 사고를 촉진하는 패턴 활동을 설계하기 위해서는 일반화 과정의 가추-귀납적 특성과 함께 함수적 관계의 가추와 귀납에 핵심적인 역할을 하는 행동에 대한 고려가 필요하다. 도형 패턴의 일반화에 있어서 선행연구에서 강조하였던 대수적으로 유용한 구조의 인식즉, 패턴을 대수적으로 유용하게 분할하는 안목만큼 중요한 것은 패턴의 분할 기준을 일반화 과정에서 일정하게 유지하는 능력이다. 패턴의 분할에 대한 기준을 일정하게 유지하고 있어야만 일반화를 위해 시도되는 다른 행동들이 유의미하게 작동할 수 있기 때문이다. 실제로 많은 오류가 잘못된 분할의 참조에서 기인하였다. 패턴의 물리적 구조를 나타낼 수 있는 표현의 사용은 학습자가 자신의 생각을 의식화시키고 분석하게 함으로써 구조에 대한 일반화 활동을 지원한다. 연구 1과 연구 2에서 각각 그림, 거북 표현식이 학생들의 내적 일반화 과정과 연결된 외적 표현으로서 기능하였다. 특히 거북 표현식은 구조를 생성하는 동적인 표현으로써 패턴의 일반화를 더욱 강력히 지원하였다. 새로운 표현과 상호작용의 설계를 통해 학생들에게 학습할만한 수학을 제공하기 위한 다양한 연구가 수행될 필요가 있다. 안구 운동 자료는 학습자의 사고를 자세히 들여다볼 수 있는 새로운 창이라 할 수 있다. 시선 흐름 영상은 학습자가 자신의 일반화 과정을 정밀하게 회상할 수 있도록 돕는 유용한 자극이었다. 안구 운동 자료와 회상자극면담과 같은 자기보고 자료의 상호보완적 분석을 통해 학생의 일반화 과정을 자세히 관찰할 수 있었다. 이러한 안구 운동 자료의 질적 분석 방법을 다양한 영역에 적용한다면 학생들의 수학적 인지 과정에 대한 새로운 관점의 논의를 끌어낼 수 있을 것으로 기대된다.

Generalization of figural patterns can be algebraically meaningful activities when using physical structures to obtain and justify algebraic expressions. However, it is not easy for students to find algebraically useful structures in patterns, and they tend to focus on the 'calculating and spotting patterns at the expense of expressing structure' activities, which convert patterns into sequences and then look for numerical rules. Most previous studies dealt with the type or right and wrong of solution strategy based on the students generalization result, but relatively few studies focus on the generalization process itself. Therefore, it is necessary to analyze in detail the students generalizing process of figural patterns, and also to study the types and cause of difficulties and learning support in figural pattern tasks. In this study, two studies on the generalization of figural patterns were conducted with third-grade middle school students. The first study analyzed students action, visual attention, and the types and causes of difficulties that they experience in the process of generalizing figural patterns. In the second study, a microworld based on turtle expression was designed based on the constructionism-based previous studies that attempted to support the learning of pattern generalization using microworld. By analyzing the student's interaction with the microworld, we explored the possibility of learning support using the microworld. In order to analyze students' actions and interactions in detail in the generalization process, eye movement data and traditional data such as retrospective interview and handwriting were complementarily analyzed. The first study identified ten actions students performed in the process of generalizing patterns through the spiral cycle of abduction-induction phase. The characteristics and roles of each action and the interactions between actions in the abduction-induction processes were analyzed. In particular, dividing patterns, searching for stage-driven arithmetic relation, searching for changes between stages, and relating between elements of pattern were identified as actions that play an important role in both the abduction and induction phases. Actions were closely interconnected and interacted, sometimes appearing simultaneously. In the item drawing 4th stage of pattern, the transition between stage was relatively high. In the item asking 7th stage, the response time was the longest because most students tried to generalize functional relationships. Students mainly referred to 1st stage for A, AB, ABB pattern and to 2nd or 3rd stage for similarly growing patterns. In the process of generalizing patterns, there was a continuous shift of visual attention between writing-AOI and stage-AOI. The main causes of difficulties for students were inaccurate perception of the physical structure of pattern, the use of inconsistent pattern divisions, the absence of inclusion-exclusion principle scheme, the expansion of rule disconnected from the pattern, lack of conceptual understanding of variables, and the absence of inductive testing. As a result of the second study, turtle metaphor helped to divide patterns and maintain a constant perspective on divisions, and turtle expression helped to carry out the generalization process stably by externalizing the abstract generalization process. Visual feedback of the microworld provided students with opportunity to reflect on their generalizations in an inductive way and to correct the rules in case of errors. As the activities at microworld were internalized, students were able to perform the abduction-induction process of generalization through manipulation and internal execution of turtle expressions without external execution. In other words, algebraically meaningful generalization process were mediated by the microworld. Three out of four students who had low level of pattern generalization in the first study could generalize figural patterns in meaningful way through classes with microworld. However, one student who lacked an understanding of the concept of variables and did not fully learn the turtles expression used a trial and error strategy in microworld. From the two studies, it was confirmed that the generalization of figural pattern can be explained by the spiral cycle of abduction-induction processes which consist of various forms of actions. Taxonomy of actions for pattern generalizing can be used as a theoretical framework for researchers and teachers to analyze the student's generalization process in detail. Designing pattern activities that promote algebraic thinking requires consideration of the abductive-inductive nature of the generalization process, as well as actions that play a key role in abduction and induction of explicit formula. As important as the 'perception of algebraically useful structures highlighted in previous studies on the generalization of figural patterns is the ability to maintain the criteria for dividing patterns in the generalization process. This is because the criteria for dividing pattern must be kept constant so that other actions being attempted for generalization can work significantly. In fact, many errors were caused by references to the wrong division. Use of expressions that can represent the physical structure of patterns supports figural generalization by allowing learners aware and analyze their thoughts. In first study and second study, respectively, pictures and turtle expressions functioned as external expressions connected to students' internal generalization processes. Turtle expression, in particular, strongly supported pattern generalization as dynamic expressions for constructing structures. Various studies need to be conducted to provide students with learnable mathematics through the design of new representations and interactions. Eye-tracking method is a new window into the learner's thinking. Scan-path video was a reliable stimulus to help learners recall precisely their generalizing processes. Complementary analysis of self-reported data such as retrospective interviews with eye movement data provided a detailed observation of the students' generalization processes. Applying this method of qualitative analysis of eye movement data to various domains in mathematics education research is expected to draw new perspectives on students' mathematical cognition.