프레게의 수 개념과 논리주의

Abstract

프레게의 「산수학의 기초」(1884)는 그 제목이 말해주듯 수학에 대한 확고한 기초를 세우자는 의도에서 나온 저작이다. 이를 뒤집어서 해석하자면 이 당시엔 수학의 기초가 부재했거나 혹은 있다 해도 흔들리고 있었음을 시사한다고 하겠다. 과연 19세기 후반의 수학계는 다른 학문 분야에서의 엄청난 변화와 더불어, 일대 격변기를 거치고 있는 중이었다. 비유크리트 기하학은 접어두고, 수학(기하학을 제외하고 대수학과 산수학만을 포함하는 좁은 의미에서의 수학) 분야에서만도, 프레게 자신의 지적대로, 함수, 연속체, 극한, 무한 등의 기초개념에 대한 분명한 정의가 요망되었을 뿐만 아니라, 음수, 무리수 등 이미 자연과학에서 채택되어 응용된지 오래된 개념들 또한 그 신뢰도를 보다 면밀히 검토해보아야 할 처지에 이르렀던 형편이었다. 역사적으로 보더라도 고대 회랍에서부터 공리체계적 전통 하에서 발전되어온 기하학에 비하여, 인도, 바빌로니아, 아라비아 등을 거치면서 산발적으로 발전되어온 (좁은 의미에서의) 수학은 그 엄밀성에 관한 한 항상 기하학의 뒷전에 머물러 왔었다.