Nonlinear Observer Design via Reduced-Order Dynamic Observer Error Linearization and Extended Nonlinear Observer Canonical Form

Abstract

본 논문은 비선형 시스템에 대한 관측기 설계 문제를 다루고 있다. 관측기 설계 문제란 주어진 시스템의 입력과 출력 정보만을 활용하여 대상 시스템의 상태 변수를 추정할 수 있는 시스템을 설계하는 것이다. 선형 시스템의 경우에는 루엔버거 관측기(Luenberger observer)로 알려진 일반적인 해법이 존재하는 반면, 일반적인 비선형 시스템에 대해 관측기를 설계하는 방법에 대한 연구 결과는 현재까지 보고된 바가 없다. 다만, 특정한 형태의 비선형 시스템에 대해 관측기를 설계하는 문제에 대한 연구는 활발하게 진행되어 오고 있다. 관측기 오차 선형화(observer error linearization) 기법은 이 문제에 대한 가장 잘 알려진 방법론 중의 하나로서, 주어진 비선형 시스템을 좌표 변환을 통해 관측 가능한 선형 시스템과 출력주입(output injection) 부분들로 구성된 비선형 관측기 정준형(nonlinear observer canonical form)으로 변환시키는 문제이다. 비선형 관측기 정준형으로 변환 가능한 좌표계에서는 시스템의 모든 비선형성이 시스템의 입력과 출력의 함수로 이루어진 출력 주입 부분에 제한되므로, 이를 상쇄시킴으로써 선형 시스템의 경우와 비슷한 형태의 루엔버거형의 관측기(Luenberger-type observer)를 설계하는 것이 가능하고, 이에 따라 선형화된 관측기 오차 동역학(observer error dynamics)을 얻을 수 있다. 관측기 오차 선형화 기법의 출현 이래로, 이를 적용할 수 있는 시스템의 범위를 확장시키기 위한 여러 연구가 진행되어 왔다. 그 중 하나는 주어진 시스템을 보다 높은 차수의 비선형 관측기 정준형으로 변환시키는 방법이다. 이러한 방식에는 시스템 이머젼 기법과 동적 관측기 오차 선형화(dynamic observer error linearization) 기법이 있는데, 그 중에서도 동적 관측기 오차 선형화 기법의 특징은 다음과 같이 크게 두 가지로 요약될 수 있다. 첫째는 대상 시스템의 출력을 입력으로 하는 보조 동역학(auxiliary dynamics)을 설계하는 것이고, 둘째는 보조 동역학을 포함하는 확장된 시스템을 대상 시스템보다 높은 차수의 일반화된 비선형 관측기 정준형(generalized nonlinear observer canonical form)으로 변환하는 것이다. 동적 관측기 오차 선형화 기법에서 제안된 일반화된 비선형 관측기 정준형은 관측 가능한 선형 시스템과 일반화된 출력 주입(generalized output injection)으로 구성되어 있고, 일반화된 출력 주입은 대상 시스템의 출력 뿐만 아니라 보조동역학의 상태 변수에 대한 함수로 이루어져 있다는 차이점이 있다. 하지만, 이 방법론은 관측기의 차수가 대상 시스템의 차수보다 크다는 단점을 가지고 있다. 이러한 문제를 해결하기 위해, 최근에는 동적 관측기 오차 선형화의 변형된 기법으로서 축소 차원 동적 관측기 오차 선형화(reduced-order dynamic observer error linearization)란 기법이 단일 출력 시스템에 대해 새롭게 제안되었다. 축소 차원 동적 관측기 오차 선형화 기법 역시 보조 동역학을 설계하여 확장된 시스템을 일반화된 비선형 관측기 정준형으로 변환시킨다는 점에서 동적 관측기 오차 선형화 기법과 공통점을 갖지만, 변환된 일반화된 비선형 관측기 정준형의 차수가 대상 시스템의 차수와 같다는 차이점이 있다. 비록 축소 차원 동적 관측기 오차 선형화 기법이 적용 가능한 시스템의 범주는 동적 관측기 선형화 기법이 적용 가능한 시스템 범주를 벗어날 수는 없지만, 축소 차원 동적 관측기 오차 선형화 기법은 동적 관측기 선형화 기법에 비해 더 작은 차수의 관측기를 설계할 수 있다는 이점이 있고, 보조 동역학의 개념을 도입함으로써 관측기 오차 선형화 기법에 비해 더 넓은 범주의 시스템에 적용 가능하다는 장점을 지닌다. 뿐만 아니라, 축소 차원 동적 관측기 오차 선형화 기법의 개념 자체가 관측기 오차 선형화 기법의 개념과 매우 흡사하기 때문에 (보조 동역학을 고려하지 않은 축소 차원 동적 관측기 오차 선형화 문제는 관측기 오차 선형화 문제와 일치한다.) 축소 차원 동적 관측기 오차 선형화 기법에 대한 연구를 통해 기존의 관측기 오차 선형화 기법을 해석할 수도 있다. 이에 따라, 본 논문에서는 축소 차원 동적 관측기 오차 선형화 기법을 다중 출력 시스템에 대해 확장시키고, 이에 대한 연구를 수행하여 궁극적으로는 주어진 다중 출력 시스템이 이 기법에 의해 일반화된 비선형 관측기 정준형으로 변환될 수 있는 필요충분 조건을 제시한다. 이 결과는 현재까지 확립되지 않았던 일반적인 형태의 출력 변환까지 고려하였을 경우의 다중 출력 시스템에 대한 관측기 오차 선형화 문제의 필요충분 조건을 내포하고 있다. 또한, 본 논문에서는 비선형 관측기 정준형의 선형 부분 또한 시스템의 출력과 보조 동역학의 상태 변수에 의해 결정되는 확장된 비선형 관측기 정준형(extended nonlinear observer canonical form)을 제안하고, 축소 차원 동적 관측기 오차 선형화의 확장된 기법으로서 주어진 단일 출력 시스템을 보조 동역학을 설계하여 확장된 비선형 관측기 정준형으로 변환하는 문제를 제안하고 이에 대한 필요충분 조건을 제시한다. 또한 이 결과를 뢰슬러 시스템(Rossler system)에 적용시켜봄으로써 새롭게 제안된 방법론이 축소 차원 동적 관측기 오차 선형화에 비해 더 넓은 범주의 시스템에 적용될 수 있음을 예증한다.

This dissertation contributes to the observer design problem for some classes of nonlinear systems. The observer design problem is to construct a dynamic system (called observer) that can estimate the state of a given dynamic system by using available signals which are commonly the input and the output of the given system. While a standard solution (called Luenberger observer) to the problem was solved for linear systems, there has not been a unified solution for general nonlinear systems. However, there have been significant research efforts on the problem of designing observers for special classes of nonlinear systems. Observer error linearization (OEL) is one of the well-known methods, and it is the problem of transforming a nonlinear system into a nonlinear observer canonical form (NOCF) that is an observable linear system modulo output injection. If a nonlinear system can be transformed into the NOCF, then all the nonlinearities of the system are restricted to the output injection term which is a vector-valued function of the system input and the system output. As a result, we can design a Luenberger-type observer that cancels out the output injection and thus has a linear observer error dynamics in the transformed coordinates. In order to extend the class of systems to which the OEL approach is applicable, a lot of attempts have been made in the past three decades. One of them is to transform a nonlinear system into a higher-dimensional NOCF: system immersion and dynamic observer error linearization (DOEL). In particular, the main idea of DOEL is twofold: the first is to introduce an auxiliary dynamics whose input is system output, and the second is to transform the extended system into a generalized nonlinear observer canonical form (GNOCF) that is an observable linear system modulo generalized output injection depending not only on the system output but also on the state of auxiliary dynamics. By introducing such an auxiliary dynamics, the DOEL problem can be solved for a larger class of systems compared with the (conventional) OEL problem. However, it has a drawback on the dimension of observer. That is, the dimension of observer designed by the DOEL approach is larger than that of the given system, because the dimension of GNOCF equals to the sum of dimensions of the given system and the auxiliary dynamics. Recently, inspired by this fact, a new approach called reduced-order dynamic observer error linearization (RDOEL) was proposed for single output nonlinear systems. In the framework of RDOEL, we also introduce an auxiliary dynamics and transform the extended system into GNOCF in a similar fashion to DOEL, but the coordinate transformation preserves the coordinates corresponding to the state of auxiliary dynamics so that the dimension of GNOCF equals to that of the given system. Although RDOEL is a special case of DOEL (that is, the class of systems to which the RDOEL approach can be applied is a subset of that of DOEL), the RDOEL approach offers a lower-dimensional observer compared to the DOEL approach, and it is also applicable to a larger class of systems compared to the (conventional) OEL approach. In addition, since the framework of RDOEL is coterminous with that of OEL (in fact, the OEL problem is identical to the RDOEL problem with no auxiliary dynamics), most of results for the RDOEL problem can be also used to analyze the OEL problem by slight modification. In this respect, one of the topics of this dissertation is to deal with the RDOEL problem for multi-output systems. We first formulate the framework of RDOEL for multi-output nonlinear systems and provide three necessary conditions. And then, by means of the necessary conditions, we derive a geometric necessary and sufficient condition in terms of Lie algebras of vector fields. Since the proposed RDOEL problem is a natural extension of the (conventional) OEL problem, the result can be easily translated into a geometric necessary and sufficient condition for the OEL problem, which has not yet been completely established in the case where an output transformation of general form is considered. The other topic of the dissertation is to introduce an extended nonlinear observer canonical form (ENOCF) whose linear part also depends on the system output and the state of auxiliary dynamics, and to deal with the problem of transforming a single output nonlinear system with an auxiliary dynamics into the ENOCF as an extension of the RDOEL problem. Since the proposed ENOCF admits a kind of high-gain observers, the solvability of the problem allows us to design observers for a class of single output nonlinear systems. We also first present two necessary conditions, and then derive a geometric necessary and sufficient condition for the problem. Furthermore, as a case study, we apply the results to the Rӧssler system in order to show that the proposed method enlarges the class of applicable systems compared with the RDOEL approach.