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Regularity of fully nonlinear parabolic equations and its applications
완전 비선형 포물 편미분 방정식의 정칙 이론과 그 응용

DC Field Value Language
dc.contributor.advisor이기암-
dc.contributor.author김수정-
dc.date.accessioned2017-07-14T00:40:15Z-
dc.date.available2017-07-14T00:40:15Z-
dc.date.issued2013-08-
dc.identifier.other000000012998-
dc.identifier.urihttps://hdl.handle.net/10371/121266-
dc.description학위논문 (박사)-- 서울대학교 대학원 : 수리과학부, 2013. 8. 이기암.-
dc.description.abstract이 학위 논문에서는 비발산 구조를 갖는 완전 비선형 포물 방정식의 해의 정칙 이론과 그 응용에 대하여 연구하였다.

첫번째 장은 완전 비선형 고른 포물형 및 퇴화된 포물형 방정식의 해의 점근적 행동 양상에 대한 연구이다. 먼저, 포물 방정식의 정규화 된 해가 시간이 흐름에 따라 방정식과 관련된 완전 비선형 타원 작용소의 제 1 고유 함수로 수렴함을 증명하였다. 또한 볼록한 영역에서 오목한 완전 비선형 제차 작용소가 주어졌을때, 포물형 해의 초기 기하적 구조-특정한 오목성(log-concavity, power concavity)-가 보존되는 것을 보였다. 위의 수렴성을 이용하면 제 1 고유 함수 또한 같은 기하적 구조를 가짐을 알 수 있다.

두번째 장에서는 완전 리만 다양체 위에서 완전 비선형 포물 방정식의 해를 다루었는데, 특히 정칙 이론의 초석이 되는 포물형 Harnack 부등식을 증명하였다. 선형 작용소에 대해서는 거리 함수로 정의된 특정한 조건을 가정하고 정칙인 해의 대역적 Harnack 부등식을 얻었다. 또 단면 곡률의 하한을 가지는 다양체에 대해 비선형 작용소의 국소적 Harnack 부등식을 보였다. 마지막으로 Jensen의 sup- and inf-convolution을 이용하여, 연속 해인 viscosity 해에 대한 Harnack 부등식을 증명하였다.
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dc.description.tableofcontentsAbstract
1 Introduction 1
1.1 Long-time asymptotics for parabolic equations 2
1.2 Parabolic Harnack inequality on Riemannian manifolds 4
2 Preliminaries 8
2.1 Viscosity solutions 8
2.1.1 Uniformly elliptic operator 8
2.1.2 Viscosity solutions 10
2.1.3 Regularity for uniformly elliptic and parabolic equations 11
2.2 Riemannian geometry 12
2.2.1 Variation formulas and Volume comparison 15
2.2.2 Semi-concavity 18
2.2.3 Viscosity solutions on Riemannian manifolds 19
3 Asymptotic behavior of parabolic equations 22
3.1 Uniformly parabolic equations 22
3.1.1 Elliptic eigenvalue problem 22
3.1.2 Long-time asymptotics for uniformly parabolic equations 23
3.1.3 Log-concavity 29
3.2 Degenerate parabolic equations 39
3.2.1 Sub-linear elliptic eigenvalue problems 39
3.2.2 Long-time asymptotics for degenerate parabolic equations 42
3.2.3 Square-root concavity of thepressure 47
4 Harnack inequality on Riemannian manifolds 69
4.1 Harnack inequality for linear parabolic operators 69
4.1.1 ABP-Krylov-Tso type estimate 70
4.1.2 Barrier functions 78
4.1.3 Parabolic version of the Calderon-Zygmund decomposition 90
4.1.4 Proof of parabolic Harnack inequality 94
4.1.5 Weak Harnack inequality 107
4.2 Harnack inequality for nonlinear parabolic operators 110
4.3 Harnack inequality for viscosity solutions 121
4.3.1 Sup-and inf-convolution 121
4.3.2 Proof of parabolic Harnack inequality 132
Abstract (in Korean)
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dc.formatapplication/pdf-
dc.format.extent2109591 bytes-
dc.format.mediumapplication/pdf-
dc.language.isoen-
dc.publisher서울대학교 대학원-
dc.subjectfully nonlinear parabolic equation-
dc.subjectfully nonlinear elliptic eigenvalue problem-
dc.subjectporous medium equation-
dc.subjectHarnack inequality on Riemannian manifolds-
dc.subjectABP type estimate-
dc.subject.ddc510-
dc.titleRegularity of fully nonlinear parabolic equations and its applications-
dc.title.alternative완전 비선형 포물 편미분 방정식의 정칙 이론과 그 응용-
dc.typeThesis-
dc.description.degreeDoctor-
dc.citation.pages136pages-
dc.contributor.affiliation자연과학대학 수리과학부-
dc.date.awarded2013-08-
Appears in Collections:
College of Natural Sciences (자연과학대학)Dept. of Mathematical Sciences (수리과학부)Theses (Ph.D. / Sc.D._수리과학부)
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