α-Gauss Curvature Flows and Free Boundary Problems

Abstract

본 학위논문은 알파 지수 가우스 곡률을 속력으로 갖는 n+1차원 유클리드 공간에 있는 n차원 순볼록 초곡면의 변형을 연구한다. 알파의 범위가 1/n<α≤1일 때 초기 초곡면이 순볼록이고 매끄러우면 순볼록인 매끄러운 해들이 존재하고 한 점으로 수렴한다. 또한, 척도변환된 초곡면의 점근적 행동에 대하여 토론한다. 즉, 척도 변환된 다양체는 순볼록 매끄러운 다양체로 수렴한다. 더욱이, 극한값이 어떤 방정식을 만족하는 부분수열이 존재한다. 1/2<α≤1의 범위에 있는 알파에 대하여 알파 가우스 곡률에 의해 주어진 속력을 갖는 3차원 유클리드 공간에 있는 볼록 곡면에 대하여, n차원의 경우에서와는 다른 어떤 추정값을 이용하여 초기 곡면이 매끄럽고 순볼록일 때 매끄러운 해들이 존재한다는 것을 보인다. 게다가, 만약 초기 곡면이 단지 볼록인 경우에 축소 시간 전에 C^{1,1} 측도값을 갖는 viscosity 해가 존재하며, 볼록 곡면의 평탄면이 한동안 지속된다. 또한 비퇴화의 초기 조건과 어떤 정칙성 아래에서 곡면의 평탄한 부분과 순볼록 부분 사이의 접촉면이 평탄면이 사라지는 시간 전까지 매끈함을 유지한다는 것을 보인다.