고등학교 학생들의 무한급수 개념에 대한 분석

Abstract

고등학교 학생들의 무한급수 개념에 대한 분석

무한급수란 무한수열의 각 항을 차례대로 합의 기호 로 연결한 식이다. 용어의 정의에서 드러나듯이 무한급수는 무한, 수열, 합, 극한 등의 여러 가지 수학적 개념들이 들어있는 복합적인 수학적 개념이다. 한편, 무한급수는 미적분학의 이해의 바탕이 되는 개념으로 고등 수학의 학습에서 매우 중요하다. 그러나 직관적인 이해로는 올바른 이해가 어려운 무한 개념을 기반으로 하기 때문에 무한급수 개념의 지도와 학습 모두 어렵다고 볼 수 있다. 무한급수 개념은 무한에 대한 직관적인 생각의 맥락에서 무한히 더하는 과정으로 먼저 받아들여진다. 하지만 무한급수에 대한 정확한 이해를 위해서는 무한급수를 대상으로 인식하여 그 자체에 대한 성질과 이론을 적용할 수 있어야 한다. Dubinsky의 APOS이론에서는 수학적 개념의 형성과 이해과정을 과정과 대상의 상호작용으로 보고 과정이 대상으로 바뀌는 과정을 행동, 과정, 대상, 스키마로 설명한다. 따라서 이 연구에서는 무한급수 개념의 형성과 이해과정을 APOS이론의 관점에서 분석하였다. 이를 위하여 고등학교 2학년 학생들을 대상으로 무한급수 관련 문항 풀이 검사를 하고, 학생들의 사고 과정을 심층적으로 분석하기 위하여 반구조화된 면담을 실시하였다. 무한급수 개념의 발생적 분해는 수열 스키마로부터 시작된다. 수열 스키마로부터 일반화 과정을 거쳐 일반항 스키마를 형성하고 이 일반항과 수열의 합에 대한 스키마가 조절 과정을 통해 부분합 스키마를 형성하게 된다. 하지만 부분합 스키마를 형성하는 과정은 이 과정 외에도 또 다른 과정이 가능한데 무한급수에서 새로운 수열인 부분합의 수열을 생성하는 것이다. 등과 같이 무한급수의 무한히 더하는 과정에 대한 내면화를 거쳐 부분합 을 대상으로 인식하여 새로운 수열을 생각할 수 있게 되고, 이 수열의 규칙성을 찾아 일반항을 구하는 일반화 과정을 거쳐 부분합 에 대한 스키마를 형성하게 되는 것이다. 이러한 두 가지 과정 중 하나의 과정을 통하거나 두 과정 모두를 통해 부분합 스키마를 형성하고 나면, 부분합 스키마와 수열의 극한 스키마의 조절을 통해 무한급수 또는 무한급수의 합에 대한 스키마를 형성하게 된다. 무한급수에서 일반항을 구하는 과정이 학생들에게 익숙하여 자연스러운 접근인 반면에 부분합의 수열을 생성하는 것은 낯설고 어렵기 때문에 섬세한 교수학적 접근이 필요하다는 것을 연구 과정을 통해 알 수 있었다. 한편, 부분합 개념을 구성하는 두 가지 과정의 연결성을 이해하는 것은 무한급수 개념에 대한 스키마에 큰 영향을 준다고 볼 수 있다. 수열의 극한 스키마는 여러 가지 수학적 내용을 담고 있지만 그 중 무한에 관하여 잠재적 무한 개념 또는 실제적 무한 개념을 가지고 있는지에 따라 무한급수 개념 형성에 큰 영향을 미치는 것으로 볼 수 있다. 학생들은 직관적으로 잠재적 무한 개념을 이해하는데 반하여 실무한의 개념은 이해하기 쉽지 않다. 잠재적 무한 개념을 바탕으로 하는 극한 개념은 무한급수의 대상화 과정에도 영향을 미쳐 무한급수의 완전한 대상화를 방해하고 무한급수를 대상으로 다루는데 있어서 곤란함을 초래한다. 따라서 무한급수의 올바른 대상화를 위해 실무한 개념도 함께 이해하면서 수열의 극한 스키마를 구성할 수 있도록 할 필요가 있다. 본 연구는 무한급수 개념의 발생적 분해를 밝힘으로써 무한급수 개념 구성에 관여하는 다른 수학적 개념들과 반영적 추상화에 대해 설명할 수 있게 되어 무한급수에 대한 학생들의 이해의 이면을 드러냈다. 이를 통해 무한급수 개념의 발생적 분해를 반영한 수업 또는 교재 개발로 학생들이 무한급수 개념을 자연스럽게 형성할 수 있도록 할 수 있을 것이다.

Analysis on the concept of an infinite series of high school students

Infinite series is defined as the sum of an infinite sequence of terms. As is evident from the definition, infinite series contains several complex mathematical concepts such as infinity, sequence, sum, and limit. Understanding infinite series is important because it is foundational to calculus concepts in advanced mathematics learning. However, because developing an intuitive and correct understanding of the concept of infinity is difficult, it follows that teaching and learning the concept of the infinite series can also be a challenge. In the context of intuitive thinking about infinity, students initially accept that an infinite series is an infinite adding process. However, to develop an accurate understanding of the infinite series, an infinite series has to be recognized as an object, so as to apply its property and the theory properly. Dubinsky's APOS theory reported the formation of mathematical concepts and understanding as an interactive process between the process and the object. This transition of the process to the object is described by the behavior, process, object, and schema. In this study, the analysis of students formation and understanding process of the concept of the infinite series is framed by the APOS theory. The sample consists of five 2nd grade high school students. Students solved problems and engaged in semi-structured interviews for an in-depth analysis of the thinking process of the students. Genetic decomposition of the concept of an infinite series begins with the sequence schema. Sequence schema forms a general term schema through a process of generalizing, this general term and the sum of the sequence's schema forms partial sum's schema through a process of coordination. In addition to this process, the process of forming the other partial sum schema can generate a new progression, partial sum from infinite series such as through the process of adding an infinite series of infinitely internalized, partial sums is recognized as objects and being able to think of a new sequence, finding a generalized process to obtain a general term for this sequence of rules. The schema is formed via . After forming partial sum schema, through either one or both processes, the coordination of the partial sums schema and the schema of limit schema form the schema for the infinite series or its sum. The findings from the study suggest that students are familiar with the process of obtaining a general term in the infinite series of the partial sums, bot unfamiliar with sequence of partial sum, which indicates the need for a didactical approach. On the other hand, understanding the connection between the two courses that comprise partial sum seems it would have a significant impact on the schema of an infinite series. The limit schema of sequence contains several mathematical content, but findings from this study suggest that depending on the kinds of connection about infinity a student has, the trajectories for learning about infinite series could differ significantly. Infinite concepts about potential infinity or actual infinity, depending on the concept of infinite series in the formation have a significant impact. This study shows that students intuitively understand the concept of potential infinity, bot not necessarily the concept of the practice of infinity. Causing limit concept of the infinite series to encapsulation process is also affected in dealing with difficult and interfere with the complete encapsulation of the infinite series. To correct encapsulation, there is a need to understand an infinite series as a practical concept that consists of the limit schema of sequence. This study describes students reflective abstraction and other mathematical concepts involved in the conceptual construct of an infinite series, by identifying the genetic decomposition of the concept of an infinite series. Using such findings in pedagogy and textbook development may provide more opportunities for students to reflect on genetic decomposition of the concept of an infinite series.