연결큐브 수업에서 거북표현체계의 교육적 활용

Abstract

학교 수학에서 공간 감각의 중요성이 강조되면서, 2009 개정 교육과정에서는 초등학교 6학년 쌓기나무 단원에 연결큐브를 사용한 활동을 새롭게 도입하고, 이를 지도하는 방법으로 연결큐브 교구의 조작과 수학적 의사소통을 권장하였다. 그러나 여러 선행 연구들(Ben-Chaim et al. 1989

김수운, 2004

장유라, 2010

장혜원, 2015)로부터 이와 같은 방법으로 수업했을 때 어려움이 있을 것이 예상되며, 정혜림, 이승주, 조한혁(2016)은 실제로 교사들이 연결큐브 수업하는데 공간 대상에 대한 적절한 표현 체계와 대안적 전략의 부재로 어려움을 겪고 있음을 확인하였다. 이에 본 연구는 연결큐브 수업의 어려움을 해소하기 위한 대안으로 거북표현체계를 제시하고, 실제 연결큐브 수업에서 활용하였을 때 어떠한 교육적 변화가 있는지 살펴보고자 하였다. 거북표현체계는 공간 정보를 압축하여 나타낸 기호적 표현으로 의사소통에서 사용될 수 있을 뿐 아니라, 공간 과제를 해결하는 인지 전략으로도 사용될 수 있다. 이에 본 연구자는 거북표현체계의 활용에 관한 두 가지 연구를 수행하여, 실제 연결큐브 수업에서 거북표현체계를 활용하였을 때 어떠한 영향이 있는지 알아보았다. 연구 1에서는 공간 과제를 해결하고 설명하는 인지 전략으로서 거북표현체계를 활용하였고, 연구 2에서는 입체 대상을 가리키는 표현으로서 거북표현체계를 활용하는데 초점을 두었다. 연구 1은 연결큐브 과제를 해결하는 활동을 중심으로 수업하고, 학생들이 어떠한 인지 전략을 사용해 해결하고 설명하는지 분석하고 이후 거북표현체계를 활용하였을 때 어떠한 변화가 있는지 살펴보았다. 그 결과 학생들은 연결큐브 과제를 해결하고 설명하는데, 처리 방법 면에서 주로 심상 전략을 사용하였다. 접근 방법 면에서는 연결큐브 문항 유형에 따라 다르게 나타났는데, 회전 유형에서는 전체적 접근과 부분적 접근의 비율이 비슷하였고, 결합 유형에서는 전체적 접근이, 분해 유형에서는 부분적 접근의 비율이 높았다. 연결큐브 과제의 해결을 설명하는데 사용한 전략은 처리 방법, 접근 방법 외에 추가로 준거 기준 면에서도 분석하였는데, 관점을 변환하는 전략보다는 대상을 변환하는 전략을 사용하는 비율이 높았다. 이를 통해 학생들은 연결큐브 과제의 해결하고 설명하는데 주로 직관적으로 접근하고 있음을 알 수 있었다. 거북표현체계를 활용한 이후에는 연결큐브 과제의 성취와 의사소통에 변화가 나타났다. 먼저 연결큐브 과제의 성취는 거북표현체계를 활용하기 이전보다 이후에 학생들의 정답률이 높아졌으며, 특히 난이도가 높은 문항일수록 정답률의 상승 폭이 커지는 경향이 나타났다. 그러나 반응 시간 면에서는 거북표현체계를 활용하기 이전에 비해 활용한 이후에 반응 시간이 오히려 늘어났는데, 그 차이는 특히 난이도가 낮은 회전 유형에서 유의하였다. 수준별로 집단을 나눠 성취도를 비교했을 때는 높음이나 중간 수준 집단에 비해 낮음 집단이 정답률의 상승 폭이 가장 크게 나타났다. 이를 통해 난이도가 높은 문항일수록 거북표현체계가 효과적이며, 심상 전략을 사용하기 어려운 학생에게 대안적 전략으로 제시될 수 있음을 알 수 있었다. 의사소통 면에서는 거북표현체계를 활용하기 이전에는 각자 자기 나름의 비수학적 표현을 사용해 그 의미를 이해하는데 혼란이 있었다. 그러나 거북표현체계를 활용한 이후에는 의사소통이 훨씬 정확하고 간결해졌는데, 이것은 거북표현체계가 의미가 합의된 수학적 표현의 역할을 했기 때문임을 알 수 있었다. 연구 2에서는 입체 대상에 대한 의사전달 활동을 중심으로 수업하고, 거북표현체계의 사용 여부에 따라 의사소통 양상에 어떠한 차이가 있는지 살펴보았다. 그 결과 대체로 거북표현체계를 사용한 집단이 사용하지 않은 집단에 비해 의사소통이 수월하였다. 그 이유는 거북표현체계가 입체 대상에 대해 그 의미가 합의된 표현 체계의 역할을 하였기 때문이다. 하지만 거북표현체계를 사용하였더라도 그 의미를 혼동하거나 익숙하지 않은 경우 의사소통에 어려움을 겪기도 하였는데, 이를 통해 기호의 규약에 대한 충분한 학습이 선행되지 않으면 오히려 의사소통에 방해가 되는 거북표현체계의 한계를 밝힐 수 있었다. 본 연구에서는 공간 정보를 의사소통하거나, 공간 과제를 해결하는데 거북표현체계가 유용하게 사용될 수 있음을 알 수 있었고, 이를 통해 연결큐브 수업의 대안을 보여줬다는데 그 의의가 있다. 특히 본 연구에서 새롭게 제시한 거북표현체계의 체화적 측면인 제스처(gesture)는 체화된 인지 효과를 높여 거북표현체계에 대한 직관적인 이해와 빠른 학습을 가능하게 하며, 연결큐브나 컴퓨터 등의 별다른 외적 도구 없이 내적 도구로 사용 가능하게 한다. 따라서 학교 현장에서 연결큐브 수업의 어려움을 겪는 교사들에게 큰 도움이 될 것이라 생각한다.

Recently spatial sense have considered important in school mathematics, the 2009 revised national mathematics curriculum have inserted mathematical liking cube activities in the 6th grade math class and handling of concrete model(linking cube) and mathematical communication were recommended as a way of teaching these activities. However, it is expected that there will be difficulties in teaching in this way from several precedent studies(Ben-Chaim et al., 1989

Kim Soo Un, 2004

Jang Yu Ra, 2010

Jang Hye won, 2015), and Jeong Hye rim et al.(2016) confirmed that teachers are having difficulties in the liking cube teaching due to lack of alternative strategy and proper expressive system for 3D objects. The purpose of this study is to present the turtle representation system as an alternative to solve the difficulties of the linking cube class and to investigate the educational changes when it was used in the class. The turtle representation system can be used not only as a symbolic expression that compresses spatial information, but also as a cognitive strategy to solve spatial tasks. Therefore, two studies were conducted regarding the use of turtle representation system and examined the effect of turtle representation system in linking cube class. Study 1 focused on the use of turtle representation system as a cognitive strategy to solve and explain spatial tasks. Study 2 focused on the use of turtle representation system as a representation of 3D objects. Study 1 focused on activities to solve spatial tasks, analyzed how students use strategies to solve and explain them, and then examined what kind of changes occurred when they used the turtle representation system. As a result, students used imagistic strategy mainly in terms of processing aspect to solve and explain the liking cube task. In terms of approaching aspect, strategy that students used primarily was different according to the type of the linking cube item. In the rotation type, the ratio of holistic approach and partial approach was similar. But in the combination type, the ratio of holistic approach were higher than partial approach and in decomposition type the ratio of partial approach were higher than holistic approach. In addition to the processing aspect and approaching aspect, the strategy used to explain the solution of the linking cube task was also analyzed in terms of the reference frame aspect. The ratio of using strategy to transform objects was higher than perspective taking strategy. Thus, it was found that students were intuitive to solve and explain the linking cube task. After using the turtle representation system, there was a change in the achievement and communication of the liking cube task. First, the achievement of the linking cube task increased after the use of the turtle representation system. Particularly, the higher the difficulty level, the higher the percentage of correct answers. But the reaction time increased after using the turtle representation system rather than before, and the difference was especially significant in the rotation type with low difficulty level. When the achievements were compared by dividing groups by level, the low level group showed the greatest increase in the percentage of correct answers compared to the high or middle level group. Thus it was found that the higher the level of difficulty, the more effective the turtle representation system is and that turtle representation system can be suggested as an 'alternative strategy' for students who have difficulty using imagistic strategy. Second, in communication, before using the turtle representation system there was confusion to understand its meaning due to use of own non-mathematical expression. However, after using the turtle representation system, the communication became much more accurate and concise. This is because the turtle representation system played a role of mathematical expression in which the meaning was agreed. Study 2 focused on the activities to communicate 3D objects, and examined the differences in communication according to whether turtle representation system was used or not. As a result, the groups using the turtle representation system was easier to communicate than the groups not using it. The reason for this is that the turtle representation system played a role of expression in which the meaning was agreed to 3D objects. But, even if groups use the turtle representation system, there were difficulties in the communication if they were confusing the meaning of the tortoise expression system or unfamiliar with it. So this study can reveal the limitation of the turtle representation system that unless sufficient learning of the conventions of symbol was preceded, it will interfered with communication. In this way, the turtle representation system can be used to communicate spatial information and solve spatial tasks. This study is meaningful in that it showed an alternative of linking cube class. In particular, gesture, which is the embodied aspect of the tortoise expression system newly proposed in this study, makes intuitive understanding and quick learning about the tortoise expression system by raising the embodied cognitive effect. Also it makes the turtle representation system availabe as an mental tool without any external tools such as linking cubes or computers. Therefore, it is expected that the turtle representation system will be helpful to teachers who have difficulties in linking cube class at the school site.