Multiples of a prime represented by some binary forms

Abstract

양의 정부호 이변수 이차형식 $f(x, y)=ax^{2} +bxy+cy^{2}$에 의해 표현되는 정수의 집합을 $Q(f)$라 하자. 1938년 Delone은 동형이 아닌 두 이차형식 $f, g$가 $Q(f)=Q(g)$을 만족할 필요충분조건이 $(f, g) \simeq (x^2+xy+y^2, x^2+3y^2)$임을 증명하였다. 최근에 Oh는 소수 $p$에 대하여, $Q(f) \cap p\z = Q(g) \cap p\z$을 만족하는 이차형식 $f, g$를 구하는 간단한 판정법을 제시하였다. 이 논문에서는 Oh의 판정법을 이용하여 13이하의 소수$p$에 대하여 $Q(f) \cap p\z = Q(g) \cap p\z$, $D_f \equiv 5 \pmod 8$, $4D_f=D_g$, $\left(\frac{D_f}{p}\right)=1$을 만족하는 $(f, g)$를 모두 구하였다.