Maurer-Cartan Equation and Quantum Algebra

Abstract

J. Stasheff가 1963년에 처음 그 개념을 고안해 냈을 때부터, 대수는 Lagrangian Floer theory 와 Homological mirror symmetry 및 다른 여러 분야에서 유용하게 사용되는 개념이다. 그런 여러 쓰임 중, 본 논문에서 대수 구조는 어떤 대수 구조에서 나타나는 장애 요인(Obstruction)을 극복하는 것에 사용된다. 예를 들어, 어떤 대수 구조에서, 곱하기 연산이 결합법칙을 만족하지 않는다는, 장애 요인이 나타났을 때, 이를 극복하기 위해 우리는 구조를 사용한다. 또 다른 예로, 우리는 Maurer-Cartan 방정식을 이용해서 구조를 변형하여 Lagrangian intersection theory에서 Floer coboundary를 잘 정의 할 수 있고, 또한 그 Floer theory의 고차원적인 구조를 이해하는데, 도움을 받을 수 있다. 본 논문에서는, 대수에 대한 정의와 그 특별한 구조인 cyclic 대수에 대한 정의를 상기한 다음, Maurer-Cartan 방정식의 해를 이용해 변형된 cyclic 대수로써 Quantum 대수를 소개 한다. Cyclic 대수 구조를 변형하기 위해, 구조의 cyclic chain들 상의 Lie bialgebra 구조를 생각하고, 그것으로부터 differential graded Lie algebra (DGLA로 표기) 구조를 도출해 내서, DGLA의 변형이론을 적용한다. 이 과정은 A. Hamilton 의 최근 연구 결과와 K. Fukaya, Y.-G. Oh, H. Ohta, 그리고, K. Ono 의 공동 연구의 결과로부터 많은 영향을 받은 것이다. 일련의 과정에서 나오는 대수 구조들인 (Cyclic) 구조나, Lie bialgebra 구조에 각각 대응하며 그 구조를 설명해 주는 도형들을 고안했다. 이들을 이용해서 구조의 cyclic chain들 상에 Lie bialgebra 구조를 자연스럽게 정의할 수 있고 여러 성질을 증명하는데 도움을 얻는다. 마지막으로, Lagrangian Floer theory 에서 (Cyclic) 구조가 어떻게 쓰이는 지 간단하게 소개하여, (Cyclic) 구조의 기하학적인 의미를 제시하고자 한다. 이는 K. Fukaya 의 논문 [7]과 K. Fukaya, Y.-G. Oh, H. Ohta, 그리고, K. Ono 의 공동 연구 [10] 의 연구결과를 간략히 정리한 것이다.