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Maurer-Cartan Equation and Quantum Algebra

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dc.contributor.advisor조철현-
dc.contributor.author조다혜-
dc.date.accessioned2019-06-25T15:57:21Z-
dc.date.available2019-06-25T15:57:21Z-
dc.date.issued2012-02-
dc.identifier.other000000000250-
dc.identifier.urihttps://hdl.handle.net/10371/155089-
dc.identifier.urihttp://dcollection.snu.ac.kr/jsp/common/DcLoOrgPer.jsp?sItemId=000000000250-
dc.description학위논문 (석사)-- 서울대학교 대학원 : 수리과학부, 2012. 2. 조철현.-
dc.description.abstractJ. Stasheff가 1963년에 처음 그 개념을 고안해 냈을 때부터, 대수는 Lagrangian Floer theory 와 Homological mirror symmetry 및 다른 여러 분야에서 유용하게 사용되는 개념이다. 그런 여러 쓰임 중, 본 논문에서 대수 구조는 어떤 대수 구조에서 나타나는 장애 요인(Obstruction)을 극복하는 것에 사용된다. 예를 들어, 어떤 대수 구조에서, 곱하기 연산이 결합법칙을 만족하지 않는다는, 장애 요인이 나타났을 때, 이를 극복하기 위해 우리는 구조를 사용한다. 또 다른 예로, 우리는 Maurer-Cartan 방정식을 이용해서 구조를 변형하여 Lagrangian intersection theory에서 Floer coboundary를 잘 정의 할 수 있고, 또한 그 Floer theory의 고차원적인 구조를 이해하는데, 도움을 받을 수 있다.
본 논문에서는, 대수에 대한 정의와 그 특별한 구조인 cyclic 대수에 대한 정의를 상기한 다음, Maurer-Cartan 방정식의 해를 이용해 변형된 cyclic 대수로써 Quantum 대수를 소개 한다. Cyclic 대수 구조를 변형하기 위해, 구조의 cyclic chain들 상의 Lie bialgebra 구조를 생각하고, 그것으로부터 differential graded Lie algebra (DGLA로 표기) 구조를 도출해 내서, DGLA의 변형이론을 적용한다. 이 과정은 A. Hamilton 의 최근 연구 결과와 K. Fukaya, Y.-G. Oh, H. Ohta, 그리고, K. Ono 의 공동 연구의 결과로부터 많은 영향을 받은 것이다.
일련의 과정에서 나오는 대수 구조들인 (Cyclic) 구조나, Lie bialgebra 구조에 각각 대응하며 그 구조를 설명해 주는 도형들을 고안했다. 이들을 이용해서 구조의 cyclic chain들 상에 Lie bialgebra 구조를 자연스럽게 정의할 수 있고 여러 성질을 증명하는데 도움을 얻는다.
마지막으로, Lagrangian Floer theory 에서 (Cyclic) 구조가 어떻게 쓰이는 지 간단하게 소개하여, (Cyclic) 구조의 기하학적인 의미를 제시하고자 한다. 이는 K. Fukaya 의 논문 [7]과 K. Fukaya, Y.-G. Oh, H. Ohta, 그리고, K. Ono 의 공동 연구 [10] 의 연구결과를 간략히 정리한 것이다.
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dc.description.tableofcontents0. Abstract 5_x000D_
I. Introduction 8_x000D_
1 Introduction 8_x000D_
II. Abstract A∞ -structure 11_x000D_
2 A∞ -algebra 11_x000D_
2.1 A∞ -algebra 11_x000D_
2.2 Coalgebra set-up 12_x000D_
3 Cyclic A∞ -algebra 14_x000D_
3.1 Cyclic A∞ -algebra 14_x000D_
3.2 DGLA set-up 17_x000D_
3.2.1 Lie bialgebra 17_x000D_
3.2.2 Involutive Lie bialgebra structures on h(V) 19_x000D_
4 Quantum A∞ -algebra 31_x000D_
4.0 Differential Graded Lie Algebra 31_x000D_
4.1 Deformation of DGLA 32_x000D_
4.2 Quantum A∞ -algebra 34_x000D_
III. Geometric application of A∞ -structure 35_x000D_
5 Basic settings 35_x000D_
6 The A∞ algebra structure in Lagrangian intersection theory 37_x000D_
6.1 The (filtered) A∞ algebra associated to a Lagrangian Submanifold 37_x000D_
6.2 Deformation of A∞ structure 42_x000D_
6.3 Cyclic Filtered A∞ structure 43_x000D_
IV. Appendix 45_x000D_
7 Quantum Cohomology and its Cup Product 45_x000D_
7.1 J-holomorphic Curves 45_x000D_
7.2 Wittens Deformed Cohomology Ring 46_x000D_
7.3 Quantum Cohomology 47_x000D_
7.4 Gromov-Witten Invariant 48_x000D_
7.5 Deformed Cup Product 50_x000D_
7.6 Novikov Ring 52_x000D_
Bibliography 54_x000D_
Abstract in Korean 56_x000D_
Acknowledgements 57
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dc.format.extent59-
dc.language.isoeng-
dc.publisher서울대학교 대학원-
dc.subject.ddc510-
dc.titleMaurer-Cartan Equation and Quantum Algebra-
dc.typeThesis-
dc.typeDissertation-
dc.description.degreeMaster-
dc.contributor.affiliation수리과학부-
dc.date.awarded2012-02-
dc.identifier.holdings000000000006▲000000000011▲000000000250▲-
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College of Natural Sciences (자연과학대학)Dept. of Mathematical Sciences (수리과학부)Theses (Master's Degree_수리과학부)
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