다양한 목적함수를 이용한 VTI 매질에서의 주파수 영역 파형역산 비교

Abstract

탄성파 역산에 사용되는 목적함수는 지표에서 획득한 실제 파동장과 탄성파 모델링을 통해 얻은 합성파동장의 차를 이용하여 정의된다. 역산 수행 시 이 목적함수의 값을 최소화하는 지하의 물성구조를 찾게 되는데 현재까지 최소 제곱법을 이용한 l2-norm이 가장 흔하게 이용되어 왔다. 이 방법은 계산이 쉽다는 장점이 있으나 계산에 사용되는 자료값에 이상값이 존재하는 경우 그 수에 관계없이 역산 결과에 큰 영향을 주어 해의 정확도를 떨어뜨린다는 단점을 가지고 있다. 이러한 단점을 극복하기 위해 l1-norm, 그리고 l1-norm과 l2-norm을 선택적으로 이용하는 후버 목적함수, 그리고 파동장에 로그를 취하는 로그 목적함수 등이 개발되어 왔다. 본 논문에서는 석유집적 구조에서 덮개암으로 많이 발견되고 있는 셰일의 대표적인 암석구조인 횡등방성 매질을 지하매질로 가정하고 유한 요소법을 이용하여 모델링 알고리듬을 구성하였다. 그리고 앞에서 언급한 네 가지 목적함수를 이용하여 역산을 수행 한 뒤 잡음을 포함하는 경우와 그렇지 않은 경우에 대한 목적함수 별 비교 연구를 수행하였다. 이를 위하여 횡등방성 매질의 한 예인 오버트러스트 모델을 이용하였으며, 그 결과 잡음이 포함되지 않은 경우 목적함수 별 결과가 아주 근소한 차이를 보이는 것과 달리 실제 파동장에 잡음이 추가 된 경우 l2-norm과 로그 목적함수는 l1-norm과 후버 목적함수에 비해 왜곡된 결과를 보여줬고 잡음에 대해 더 민감하다는 것을 확인할 수 있었다.

Objective functions, used in elastic waveform inversion, are defined by residuals between field data and modeled data. Physical properties of subsurface media can be determined by minimizing the objective functions. In seismic waveform inversion, l2-norm(the least squares method) has widely been used. This method has the advantage that it is easy to perform. However, it has the drawback that it is not robust for models with outliers. To overcome this weakness, l1-norm and Huber-norm objective function has been developed. Huber-norm objective function uses l1-norm and l2-norm selectively. On the other hand, the log objective function using logarithmic wavefields has been developed to obtain more reliable information for subsurface media. In this study, we compare these objective functions with each other for VTI media. The VTI is the representative structure of shale, which is frequently found for cap rock in petroleum accumulated sites. For waveform inversion algorithm, we first compose forward modeling algorithm using finite element method. Inversion algorithms using four different objective functions are applied for synthetic data with and without outliers for the overthrust model. Numerical results show that for the data without outliers, the four objective functions do not show any significant differences, whereas for the data with outliers, l1-norm and Huber objective functions yield more reasonable results than l2-norm and log objective function.