Elimination of Frequency Dependence of Aerodynamic Forces in the Time Domain for the Aeroelastic Analysis of Bridge Decks

Abstract

This study proposes the methods for time-domain aeroelastic analysis of bridge decks by eliminating the frequency dependence of aerodynamic forces. Due to the frequency dependence of the aerodynamic forces, the aeroelstic analysis becomes nonlinear problem, and moreover, for the time-domain aeroelastic analysis, the modal information of the aeroelastic system should be defined. To overcome this complexity, this study proposes the elimination methods of aerodynamic forces in time domain, which are penalty method and MWLS method. The penalty method is an evaluation method of impulse response functions for the convolution integrals of aerodynamic forces. The impulse response functions formed by measured flutter derivatives are modified to satisfy causality conditions through optimization. The error function in the object function is defined as least square errors between the measured and the modified transfer function, and the causality condition is imposed as a penalty function. The modified transfer functions are interpolated with the cubic spline. The selection of the optimal penalty number is presented for obtaining a balanced solution between the effects of the error function and the penalty function. The proposed method is verified via two numerical examples. Time-domain aeroelastic analyses are performed with the proposed method for a thin rectangular section and a bluff H-type section. The MWLS method, which is an efficient and unified approach for the aeroii elastic analysis in the time and frequency domains, is also proposed. The aeroelastic transfer function is approximated by the second order polynomial matrix with respect to frequency, and the unknown coefficient matrices are determined by the minimization of the norm of the weighted errors. The transfer function of an aeroelastic system in the reduced solution space is chosen as a weighting function. Through the inverse Fourier transformation, the approximated transfer function of an aeroelastic system results in a simple second order differential equation in the time domain. The validity of the MWLS method is examined for a cable-supported structure with two extreme types of deck section in the viewpoint of aerodynamics.

이 연구에서는 공기력의 주파수 의존성 소거법에 의한 교량의 시간 영역 공탄성 해석법을 제안한다. 공탄성 해석은 공기력의 주파수 의존성으로 인하여 비선형 문제가 되고, 게다가 시간 영역 공탄성 해석은 공탄성 시스템의 모드 정보를 먼저 정의하여야만 가능하다. 이러한 어려움을 해결하고자 이 연구에서는 시간영역에서의 공기력의 주파수 의존성 소거법에 근거한 penalty 방법과 MWLS 방법을 제안한다. Penalty 방법은 중첩 적분식으로 표현되는 공기력을 정의하기 위하여 impulse 응답 함수를 구하기 위한 방법으로, 측정된 플러터 계수를 통하여 얻어진 impulse 응답 함수를 causality 조건을 만족하도록 최적화 과정을 통하여 보정하는 방법이다. 최적화 문제에서 에러 함수는 측정된 전달 함수와 보정된 전달함수 간의 자승오차를 최소화하도록 정의하고, causality 조건은 penalty 함수로 도입한다. 측정된 플러터 계수간의 전달 함수는 spline 보간법을 이용하여 근 사한다. Penalty 계수는 에러 함수와 penalty 함수가 해에 주는 영향을 고려하여 최적의 값을 제안하였다. 얇은 구형 단면과 매우 bluff한 H형 단면의 두 수치 예제를 통하여 제안하는 방법의 정당성을 확인하였다. MWLS 방법은 시간 영역 및 주파수 영역의 공탄성 해석에 모두 적용 가능한 효율적인 근사 해석법이다. 공기력 전달 함수를 주파수에 대한 이차 다항함수로 근사하고, 각 다항 함수의 계수들은 가중 오차의 norm이 최소화되도록 결정하였다. 가중 함수로는 공탄성 시스템의 전달 함수를 사용하였다. 근사된 공기력 전달 함수를 이용하여 얻은 공탄성 시스템의 근사 동방정식은 역푸리에 변환을 통해 간단하고 일반적인 이차 미분 방정식으로 표현된다. 제안하는 MWLS 방법의 정당성은 역시 두 개의 대표적인 교량 단면 형태를 갖는 케이블 지지 교량의 수치 예제를 통하여 검증하였다.