Relativistic Approaches to Compact Stars and Their Applications

Abstract

This dissertation is primarily concerned with the numerical solution of the Einstein equation having non-vacuum space time. In order to solve study hydrodynamics, we used the approximate approach called ``pseudo-Newtonian'' method as well as full relativistic approach. The pseudo-Newtonian method takes care of the special relativistic effects while the gravitational field is assumed to be Newtonian, but we used the active mass density, which takes into account all forms of energies ingredients such as motions of the fluids, internal energy, pressure energy in addition to the rest mass energy, in the source term of the Poisson's equation. In this approach, the metric is correct up to the first order in the Newtonian potential. Such a treatment could be applicable to the neutron stars with relativistic motions or relativistic equation of state.

We present computational method and procedures in both approximate and fully relativistic methods to obtain stationary solutions for rapidly rotating compact stars such as neutron stars. The hydrostatic equation comes from the momentum equation in hydrodynamics. We obtained the solutions of the Tolmann-Oppenheimer-Volkoff (TOV) equation and their sequences of the equilibrium stars changing the central densties. We also describe the stability of the TOV stars from the sequences. In the pseudo-Newtonian approach, we applied the Hachisu's self-consistent field (SCF) method to find spheroidal as well as toroidal sequences of equilibrium solutions. Our approximated solutions show better agreement than Newtonian relativistic hydrodynamic approach that does not take into account the active mass, with general relativistic solutions. The physical quantities such as the peak density, equatorial radii of our solutions agree with general relativistic ones within 5\%.

We also develop new computational codes for the evolution of both approaches which can cover various topics in astrophysics involving compact stars. The hydrodynamics equations are solved using finite volume method with High Resolution Shock Capturing(HRSC) technique. We implement several different slope limiters for the 2nd order reconstruction schemes as well as the higher order ones such as PPM, ENO and WENO. We use the method of line (MoL) to convert the mixed spatial-time partial differential equations into the ordinary differential equations with respect to the time only. For the time integration, the 2nd and 3rd order Runge-Kutta methods, which are total variation diminishing (TVD) ones, are applied to our code. The metric field equations are solved by using Baumgrate-Shapiro-Shibata-Nakamura (BSSN) formalism which turned out to give stable solutions, while the ADM has unstable modes. Using the finite difference scheme, we can solve the evolution equation from BSSN method. As for the time integration, we use the iterative Crank-Nicholson method as well as the Runge-Kutta method with MoL. The Newtonian gravitational potential in pseudo-Newtonian approach, which is an elliptic equation, is solved by the multigrid method. To simplify the boundary conditions, we use the compactified coordinate which covers spatial infinity using a tangent function. In order to confirm the validity of our codes, we carried out the various tests such as shock tube tests, stationary star tests of both non-rotating and rotating stars, and the radial oscillation mode tests of spherical stars. In the shock tube tests, the code shows good agreement with the analytic solution which include shocks, rarefaction waves and contact discontinuities. The code also can keep the maximum rest mass density of the non-rotating and rotating stars constants. Its relative change of the maximum rest mass in a dynamical time is $4\times10^{-6}$ in the stationary star tests while the ones for their total baryonic mass and angular momentum are around $5\times10^{-7}$ and $2\times10^{-6}$ respectively.

As an application of our code, we investigate the pulsar glitches which could be a possible source of gravtitational wave detection. We investigate the characteristic strains and their frequencies of gravitational wave by introducing two kinds of perturbations which satisfy conservation of total rest mass and angular momentum in order to mimic the glitch induced pulsar oscillations. We carry out numerical hydrodynamic evolution using pseudo-Newtonian method and obtained the characteristic strain of gravitational wave ($h_c$) from the time series of quadrupole moment. Unlike previous studies, we find out that various modes are excited by the perturbations. The strongest mode depends on the perturbations as well as the models of the neutron stars. In most cases, the first and second strongest mode that give gravitational wave are ${}^{2}p_1$ and $H_1$ rather than ${}^{2}f$. Their characteristic strains ($h_c$) are expected to be $\sim9\times10^{-25}$ for the ${}^{2}p_1$ mode and $\sim3\times10^{-25}$ for the $H_1$ mode respectively when the perturbation follows vortex unpinning theory with $\Delta\Omega/\Omega\sim 10^{-5}$ and at a distace of $1\kpc$ from the {1.4\solarmass} pulsar. It is a little bit higher for the star quake model. One of the interesting feature is the vortex unpinning model excites the inertial mode in quadrupole moment quite effectively. Although $h_c$ is not very strong due to its fairly low frequency, its frequency is located at the most sensitive region in LIGO band and its damping time is regarded as longer than other modes.

이 학위 논문의 주된 내용은 물질을 포함하는 아인슈타인 방정식의 수치적인 풀이이다. 물질의 운동은 상대론적인 유체역학으로 기술하였는데 여기서 우리는 다음과 같은 두 가지 방법을 이용하였다. 첫째 아인슈타인 방정식을 어떠한 근사 없이 완전히 푸는 방법이다. 두 번째 방법은 ``pseudo-Newtonain'' 방법인데, 시공간을 중력 퍼텐셜의 1차 항까지만 기술하여, 간단히 뉴턴 중력으로 기술하지만 다른 특수 상대론적인 효과를 모두 고려할 수 있는 방법이다. 여기서 중력 포텐셜은 Poisson 방정식으로 풀 수 있는데 여기에서 뉴턴 방정식의 질량 밀도만 포함한 것과는 다르게 모든 에너지의 소스를 모두 포함한다. 이 에너지는 ``active mass density로 불리는데 유체의 운동에너지, 내부 에너지, 압력에 의한 에너지, 질량에 의한 에너지가 포함된다. 따라서 이 방법은 상대론적인 운동을 하거나 상대론적인 상태방정식을 써야하는 중성자별에 응용할 수 있다.

먼저 위 두 가지 방법의 식을 이용하여 중성자별과 같이 정역학적 평형 상태에 있고 회전하는 별에 대한 해를 찾았다. 정역학적 평형 상태란 압력과 중력이 평형 상태를 이루는 것으로 유체역학 방정식 중 운동량 방정식을 이용하여 구할 수 있다. 일반상대론에서 평형상태의 회전하지 않는 별에 대한 식을 Tolmann-Oppenheimer-Volkoff (TOV) 방정식이라 하는데 이 방정식을 풀고 중심 밀도의 변화에 대한 여러 해의 변화를 보며 안정성(stability)에 대하여 기술하였다. 또한 pseudo-Newtonian 방법에서 회전하는 정역학적 평형 상태에 있는 해를 Hachisu의 self-consistent field (SCF) 방법을 사용하여 구하였다. 회전 타원체(spheroid)와 환상면체(toroid)의 해를 구하였으며 이 두 가지 위상의 해의 시퀀스(sequence)도 구하였다. 그리고 여기서 구한 해와 일반상대론 적인 해와 비교를 해보았는데 그 차이는 5\% 내로 일치함을 알 수 있었다.

그 다음으로 두 가지 방법에 대한 유체역학 코드를 개발 하였는데 이 코드는 고밀도 천체가 포함된 여러 천체물리학적 현상을 기술 하는데 사용할 수 있다. 유체역학 방정식은 유한체적법(finite volume method)을 이용하여 기술하였고 유체역학 방정식을 풀 때 생기는 여러 불연속적인 해를 다루기 위하여 high resolution shock capturing (HRSC) 기술을 이용하였다. HRSC에서 플럭스를 찾기 위해서는 그리드 사이사이의 값들을 찾아내야 하는데 이 방법을 reconstruction이라고 한다. 여러 2차 정확도를 가지는 법 그리고 그것보다 높은 차수를 이용한 방법(PPM, ENO, WENO)이 코드에 구현되어 있다. 유체의 방정식은 시간과 공간에 대한 편미분 방정식 형태인데 method of line (MoL)을 이용하면 전미분 방정식 형태로 전환할 수 있고 이것은 2차 또는 3차 Runge-Kutta 방법으로 풀 수 있다. 3차 Runge-Kutta 방법 까지는 total variation diminishing (TVD) 방법으로 알려져 있다. 시공간을 기술하는 metric의 진화는 ADM 방법 보다 훨씬 안정적인 BSSN방법을 이용하여 구현하였다. 이것은 유체방정식을 푸는 방식과는 다르게 유한차분법(finite difference method)을 이용하였고 시간 미분은 iterative Crank-Nicholson방법 또는 Runge-Kutta방법을 이용하였다. pseudo-Newtonian방법의 중력 퍼텐셜은 타원형 편미분 방정식(elliptic equation)으로 멀티그리드(multigrid)방법을 이용하였다. 경계 값을 간단히 하기 위하여 축을 콤팩트화(coordinate compactification) 하여 무한대까지 확장하였다. 코드의 유효성을 확인하기 위하여 여러 가지 테스트를 진행하였다. 첫 번째, shock tube 실험에서는 여러 가지 불연속적인 해에서 해석적 해와 잘 맞는 결과를 보여주었다. 두 번째, 앞에서 구한 회전하는 또는 회전 하지 않는 정역학적 평형 상태의 별의 진화에서는 중심밀도와 질량, 각운동량이 잘 보존 되는지 검사 하였고 이 실험에서 1 역학적 시간동안 중심밀도의 상대적인 변화량은 $4\times 10^{-6}$, 전체 질량과 각운동량은 $5\times 10^{-7}$과 $2\times 10^{-6}$ 정도를 보여주었다.

이 학위 논문의 천체물리학적으로 중요한 목표 중 하나는 펄서 글리치(pulsar glitch)에서 나오는 중력파이다. 이 중력파는 다음 세대의 중력파 검출기에서 관측될 수 있는 하나의 후보 중에 하나이다. 중력파의 세기와 주파수를 알기 위하여 앞에서 구한 회전하는 중성자별에 펄서 글리치를 잘 모방할 수 있는 섭동을 넣어 pseudo-Newtonian방법으로 진화를 시켰고 이 수치 실험에서 4극자 모멘트(quadrupole moment)의 시간에 따른 변화를 보았다. 이전 ${}^2 f$ 모드만 고려한 이전 연구와는 다르게, 우리 연구는 여러 모드들이 섭동의 방법에 따라 그리고 중성자별 모델에 따라 다르게 다양하게 나타났다. 대부분의 경우에서 가장 강한 중력파를 내는 모드는 ${}^2 p_1$, $H_1$모드로 났고 그 크기는 약 $\sim\times 10^{-25}$ 정도이다. 이것은 지구에서 1 kpc 떨어진 펄서에서 $\Delta\Omega/\Omega=10^{-5}$의 크기를 가지는 글리치가 나타났을 때를 가정한 크기이다. 또한 한 가지 흥미로운 현상 중 하나는, 초유동체 모델의 경우 관성모드(inertial mode)가 잘 나타나는데 주파수가 크지 않아 중력파가 크게 나오지는 않았지만 이 모드는 많은 에너지를 가지고 있어 모드의 크기가 줄어드는 시간이 다른 모드들에 비해 상대적으로 매우 길다. 또한 주파수의 위치가 LIGO 중력파 검출기의 가장 감도가 좋은 밴드에 위치해 있어 중력파 관측을 기대 할 수 있다