Development of C0 ANCF(Absolute nodal coordinate formulation)-based finite elements for nonlinear static and dynamic problems

Abstract

In this dissertation, the C0 absolute nodal coordinate formulation (ANCF) element for the nonlinear static and dynamic problem is proposed. Since the ANCF element has an absolute position and its derivative as degrees of freedom, all degrees of freedom appear for the global coordinate. Therefore, this formulation has the advantage that the mass matrix is constant in dynamic simulations. However, existing ANCF elements including differential degrees of freedom have various limitations because they must satisfy C1 continuity. It cannot handle various mesh shapes, and there are many degrees of freedom per node, so more calculation time is required as the elements increase compare to C0 element. In addition, commercial packages are often made up of C0 formulations, so they are not easy to use in commercial packages or in combination with other elements. To overcome these limitations, the C0 formulation of the ANCF element is proposed in this paper. First, the C0 ANCF 2D plane element and the 3D solid element are formulated by using only the absolute position of each node. For the proposed C0 ANCF element, the equation of motion is solved through Newmarks method and the time response of the structure is verified by a numerical example. In addition, C0 ANCF element is able to simulate the time response of the non-rectangular structure that cannot be covered by the existing ANCF element. It was confirmed that the total energy was conserved for the time response simulation of the conservative system. In addition, the difference between the proposed element and the displacement based element, which is an existing C0 element, is explained. Second, a plane-beam element and a solid-shell element are proposed by applying the Enhanced Assumed Strain (EAS) formulation to C0 ANCF plane and solid element. The response to shear locking and volumetric locking is improved in 2D plane beam element static response of C0 ANCF element through applying EAS formulation. In the dynamic response, convergence values are obtained using a smaller number of elements. In the 3D solid-shell element, the results using different numbers of EAS parameters for the static simulation are compared, and the actual solar panel deployment problem for dynamic response is verified. Finally, researches for improving the performance of the C0 ANCF element are conducted. First, the simulation accuracy is improved by applying the incompatible mode, which can make the absolute position value in the element into the second order. Second, the research to reduce the calculation time is carried out. First, the nonlinear internal force and the tangent stiffness matrix are used as the function of the absolute position using the snapshot data by applying the element-wise stiffness evaluation procedure (E-STEP) method. By doing this, the calculation time is shortened by directing the nonlinear calculation. Next, the calculation time is shortened by reducing the degree of freedom of the equation of motion through proper orthogonal mode (POM) and the singular value obtained by singular value decomposition of the absolute position snapshot by applying the proper orthogonal decomposition (POD) reduction method.

본 논문에서는 비선형 정해석 및 동해석을 위한 C0 연속성을 가지는 절대좌표기반요소(absolute nodal coordinate formulation (ANCF) element)를 제안하였다. 절대좌표공식요소는 절대위치와 그 미분, 즉 기울기를 자유도로 가지기 때문에 모든 자유도가 전역좌표계에 대하여 나타나게 된다. 이러한 유도방식은 동해석(dynamic simulation)에서 질량행렬이 불변한다는 이점을 가지게 된다. 하지만 미분자유도를 포함하는 기존의 절대좌표공식요소 는 C1 연속성을 만족해야하기 때문에 다양한 한계를 가진다. 다양한 요소형태를 다룰 수 없으며, 노드(node)당 자유도를 많이 가지기 때문에 요소가 증가함에따라 계산시간이 많이 필요로 하여 비효율적이다. 또한 아바쿠스(ABAQUS)나 앤시스(ANSIS)같은 상용프로그램은 C0 연속성을 가지는 요소로 문제를 다루는 경우가 많기 때문에 상용프로그램에 적용하거나 다른 요소들과 결합하여 사용하기에 용이하지 않다. 이러한 한계를 극복하기위해 절대좌표공식요소의 C0 유도과정을 본 논문에서 제안하였다. 먼저, 2차원 평면요소와 3차원 C0 ANCF 2차원 평면 요소와 3차원 고체 요소를 기존의 C1 ANCF 요소에서 노드당 자유도로 절대 좌표만을 사용하는 방법으로 공식화하였다. 뉴마크스 (Newmarks) 방법을 통해 운동방정식을 풀어 구조물의 시간에 따른 변형을 수치예제를 통해 검증하였다. 또한, C0 요소로 기존 C1 요소에서 다룰 수 없었던 직사각형이 아닌 구조몰에 대한 동해석을 수행 할 수 있었다. 제안된 요소를 통해 보존계문제에 대한 동해석 결과 전체에너지가 시간에 따라 보존되는 것을 확인할 수 있었다. 또한 기존의 C0 요소인 변위기반공식과의 차이를 설명하였다. 다음으로, 강화된변형률(enhanced assumed strain (EAS)) 공식을 C0 ANCF 평면 및 고체 요소에 적용하여 평면-빔(plane-beam)요소와 고체-쉴(solid-shell)요소를 제안하였다. EAS공식 적용을 통하여 2차원 평면-빔 요소의 정해석 문제에서 전단 잠금과 체적잠금에 대한 해석이 개선되었다. 동해석 에서는 더 적은수의 요소를 사용하여 수렴값을 얻을 수 있었다. 3차원 고체-쉘요소에서는 정해석 에 대해 다른 개수의 EAS변수를 사용하여 결과를 비교하였고, 동해석에 대하여 실제 태양전지전계문제를 통해 검증하였다. 마지막으로 C0 ANCF 요소의 성능향상을 위한 연구를 진행하였다. 첫번째로 비호환모드(incompatible mode)를 적용하였다. 요소내의 절대좌표값을 2차 함수인 비호환모드를 적용하여 시뮬레이션 정확도를 향상하였다. 두번째로는 직교 분해 축소법(proper orthogonal decomposition reduction method)과 요소별 강성 평가 방법(element-wise stiffness evaluation method)을 통해 계산시간을 단축시켰다. 직교분해축소법에서는, 시간에 따른 절대좌표정보의 특이값분해를 통해 직교모드와 특이값을 구하여 운동방정식의 자유도를 축소하여 계산시간을 단축하였다. 요소별강성평가방법에서는, 절대좌표와 내력의 정보를 통해 비선형 내력과 강성행렬을 절대좌표의 함수가 되도록 하여 계산시간을 단축하였다. 두 방법을 함께 사용하여 효율적으로 계산시간을 단축하였다.