On the quantitative analyses for the random Cucker-Smale model

Abstract

In this thesis, we introduce random elements into the Cucker-Smale(C-S) model and provide quantitative analyses for those uncertainties. In real applications of the Cucker-Smale dynamics, we can expect that the C-S model contains some intrinsic uncertainties in itself and misses some extrinsic factors that might affect the dynamics of particles. Thus, to provide a better description for the dynamics of a C-S ensemble, one needs to incorporate such uncertain factors to the model and evaluate their effects on the dynamics or stability of the C-S system.

To fulfill this, we first consider the macroscopic version of the Cucker-Smale model. Namely, we introduce random inputs from communication weights and initial data into the hydrodynamic Cucker-Smale (HCS) model to yield the random HCS model. Furthermore, we address extrinsic uncertainties in the microscopic and mesoscopic level, respectively. For a microscopic model, we introduce a randomly switching network structure to the Cucker-Smale model and investigate sufficient conditions for the emergence of flocking. As a mesoscopic model, we consider the kinetic Cucker-Smale equation perturbed by multiplicative white noise and study the well-posedness and asymptotic dynamics of solutions.

본 학위 논문에서는, 쿠커-스메일 모형에 임의적 요소를 도입하여 그러한 불확실성에 대한 정량적 해석을 제시한다. 쿠커-스메일 모형의 다이나믹스를 실제로 응용함에 있어 우리는 쿠커-스메일 모형 자체가 몇몇 내적 불확실성을 포함하고 있으며 입자들의 다이나믹스에 영항을 줄 수 있는 몇 가지 외부적 요인을 놓치고 있음을 예상할 수 있다. 그러므로 쿠커-스메일 총체의 다이나믹스를 더 잘 서술하기 위해, 이러한 불확실성이 있는 요소를 모형에 도입하여 그것들이 쿠커-스메일 계의 다이나믹스나 안정성에 주는 영향을 평가할 필요가 있다.

이를 달성하기 위해, 우리는 우선 쿠커-스메일 모형의 거시적인 형태를 고려한다. 즉, 우리는 통신 가중치 함수와 초기값에서 오는 임의적 입력치를 유체역학 쿠커-스메일 모형에 포함시켜 임의적 유체역학 쿠커-스메일 모형을 유도한다. 더 나아가 미시적 그리고 중간보기적 단계에서 외적 불확실성에 대해 다룬다. 미시적 모형에 대해서, 쿠커-스메일 모형에 임의로 변하는 네트워크 구조를 도입하여 플로킹의 창발에 대한 충분조건을 알아본다. 중간보기적 단계의 모형으로서, 우리는 곱셈 백색 소음으로 동요된 쿠커-스메일 운동방정식을 고려하고 해의 존재성 및 유일성과 점근적 다이나믹스를 공부한다.