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Theory and Application of Simplicial Harmonic Spaces
단체복합체에서 조화 공간의 이론과 응용

DC Field Value Language
dc.contributor.advisor국웅-
dc.contributor.author김영진-
dc.date.accessioned2020-05-19T07:58:41Z-
dc.date.available2020-05-19T07:58:41Z-
dc.date.issued2020-
dc.identifier.other000000160213-
dc.identifier.urihttps://hdl.handle.net/10371/167874-
dc.identifier.urihttp://dcollection.snu.ac.kr/common/orgView/000000160213ko_KR
dc.description학위논문(박사)--서울대학교 대학원 :자연과학대학 수리과학부,2020. 2. 국웅.-
dc.description.abstractA harmonic cycle λ, also called a discrete harmonic form, is a solution of the Laplace's equation with the combinatorial Laplace operator obtained from the boundary operators of a simplicial chain complex. By combinatorial Hodge theory, harmonic spaces are isomorphic to homology groups with real coefficients. In particular, if a cell complex has a reduced homology with Betti number β_i = 1 of a specific dimension i, it has a unique harmonic cycle up to scalar multiplication, which we call the standard harmonic cycle.
We will present a formula for the standard harmonic cycle λ of a cell complex based on a high-dimensional generalization of cycletrees. Moreover, by using duality, we will define the standard harmonic cocycle λ* and show intriguing combinatorial properties of λ and λ* in relation to (dual) spanning trees, (dual) cycletrees, winding numbers w( · ) and cutting numbers c( · ) in high dimensions.
Finally, we will also suggest two application methods; an analysis to detect oscillations by using winding number, and cutting number, and a network embedding method, called harmonic mirroring.
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dc.description.abstract조화 사이클 λ는 이산 조화 형식으로도 부르며 라플라시안 방정식의 해이다. 이 라플라시안 방정식은 단체 연쇄복합체의 경계 작용소로부터 만든 조합론적 라플라시안 작용소가 0일 때 생기는 수식이다. 조합론적 호지 이론에 의하여 조화 공간은 실수를 계수로 갖는 호몰로지군과 동형이다. 특히 연쇠복합체의 특정 차원 i에서 축소 호몰리지군의 베티수 β_i가 1이라면, 스칼라곱을 제외하고 불변하는 고유한 조화 사이클을 얻을 수 있고, 이를 표준 조화 사이클이라 부른다. 우리는 표준 조화 사이클 λ을 표현하는 공식을 고차원으로 일반화된 사이클 트리를 바탕으로 나타내었다. 더욱이, 쌍대성을 이용하여 표준 조화 쌍대사이클 λ*를 정의하였고, λ와 λ*의 흥미롭고 조합론적인 성질들을 고차원 상태에서 보였다. 이는 (쌍대) 생성나무와 (쌍대) 사이클 트리, 회전수 w( · ), 자름수 c( · )와의 관계를 갖는다. 마지막으로 우리는 응용을 위한 두 가지 방법론을 제시한다. 회전수와 자름수를 이용한 진동 측정법과 조화 미러링으로 불리는 네트워크 매장 방법이다.-
dc.description.tableofcontents1 Introduction 1
2 Preliminaries 3
2.1 Review of nite chain complex and (co)homology 3
2.2 High dimensional spanning trees 4
2.3 Harmonic space and combinatorial Hodge theory 5
3 Cycletree and its minimal cycle 7
3.1 Cycletree 7
3.2 Minimal cycle 9
4 Winding number 14
5 Standard harmonic cycle 17
6 Duality and dual spanning tree 20
7 Dual cycletree and cutting number 25
7.1 Dual cycletree and its minimal cocycle 25
7.2 Cutting number 27
8 Standard harmonic cocycle and relationship 31
9 Application 35
9.1 Oscillation Detection 35
9.2 Harmonic Mirroring 38
Abstract (in Korean) 41
Acknowledgement (in Korean) 42
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dc.language.isoeng-
dc.publisher서울대학교 대학원-
dc.subject.ddc510-
dc.titleTheory and Application of Simplicial Harmonic Spaces-
dc.title.alternative단체복합체에서 조화 공간의 이론과 응용-
dc.typeThesis-
dc.typeDissertation-
dc.contributor.AlternativeAuthorYounng-Jin Kim-
dc.contributor.department자연과학대학 수리과학부-
dc.description.degreeDoctor-
dc.date.awarded2020-02-
dc.identifier.uciI804:11032-000000160213-
dc.identifier.holdings000000000042▲000000000044▲000000160213▲-
Appears in Collections:
College of Natural Sciences (자연과학대학)Dept. of Mathematical Sciences (수리과학부)Theses (Ph.D. / Sc.D._수리과학부)
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