Hybrid phase transition in complex systems

Abstract

Complex organization of elements can bring in new phases and novel critical effects. The phase transition of a complex system can be rich and unique. More is different, and details matter. In particular, complexification may yield hybrid phase transition, a discontinuous transition which accompanies critical phenomena. This novel type of phase transition has been discovered across diverse complex systems, including k-core percolation, cascade failures of interdependent networks, generalized epidemic spreading, restricted percolation, Kuramoto oscillators with flat-topped frequency distribution, and restricted synchronization. In this dissertation, it is investigated that how a complex system exhibits a discontinuous jump of the order parameter together with the critical phenomena at the same transition point. In particular, hybrid percolation transition and hybrid synchronization transition are focused. Several universal (or potentially universal) mechanisms are noticed. There are hybrid percolation transitions of cascade class and of merging class, hybrid synchronization transitions of Kuramoto models with flat natural frequency distribution and of restricted Kuramoto model with ranking-based shuffling dynamics. Hybrid phase transitions of complex systems may be classified on the basis of those mechanisms.

복잡계(complex system)는 복잡하고 어렵다는 의미보다는 복합적이라는 의미에서 바라보아야 한다. 계를 구성하는 요소가 여러 종류이거나 복합적인 상호작용이 있는 경우 단일 종 사이의 단순한 상호작용에서는 볼 수 없는 복합적인 효과가 나타날 수 있다. 복잡계 네트워크는 계를 구성하는 요소(노드)들과 복합적 상호작용의 연결 관계(링크)에 대한 수학적인 표현 방법이다. 어떤 복잡계가 특정한 기능을 하는지 여부는 전체적인 연결망의 상태와 더불어 내부 상호작용의 방식과도 관련될 수 있다. 상전이는 계의 기능 여부와 같은 어떤 질적인 변화를 기술한다. 여과 상전이(percolation phase transition)와 동기화 상전이(synchronization phase transition)는 복잡계에서 연구되는 대표적인 상전이이다. 여과 상전이는 전체적인 연결이 없는 상태에서 전체적인 연결이 있는 상태로의 네트워크의 구조적 변화다. 한편 동기화 상전이는 시스템의 운동에서 나타나는, 결맞음성이 없는 무질서한 상태로부터 동기화된 상태로의 동역학적 변화다. 상전이는 연속 상전이와 불연속 상전이로 구분되는데, 두 개의 상이 공존할 수 있는 불연속 상전이와 달리 연속 상전이에서는 임계점에서 두 개의 상이 하나로 합치된다. 이에 연속상전이의 임계점에서는 계 전체가 강한 상관관계에 있기 때문에 부분의 변화가 전체의 변화로 이어질 수 있고 임계현상이 나타난다. 불연속 상전이에서는 임계 현상이 있을 수도 있고 없을 수도 있다. 하이브리드 상전이(hybrid phase transition)란 연속상전이의 특징인 임계현상을 동반하는 불연속 상전이를 의미한다. 따라서 어떻게 불연속 상전이가 임계현상을 가질 수 있는가 하는 의문점이 생긴다. 본 학위 논문에서는 복잡계에서 나타나는 하이브리드 상전이와 그 메커니즘을 알아본다. 특히 하이브리드 여과 상전이(percolation hybrid transition)와 하이브리드 동기화 상전이(synchronization hybrid transition)를 중점적으로 살펴본다. 여과 상전이의 경우 연쇄 파급 과정(cascade process)과 클러스터 성장 과정(merging process)에서 각기 다른 종류의 하이브리드 상전이가 일어난다. 구라모토 진동자들의 동기화 상전이에서는 고유진동수의 분포에 따라 연속, 불연속, 하이브리드 상전이가 가능한데, 하이브리드 상전이는 분포가 납작해지는 경우에 발생한다. 또한 어떤 순위(ranking)에 따라 두 개의 그룹으로 나뉘어 제한된 상호작용을 하는 경우에도 하이브리드 동기화 상전이가 가능하다. 특히 이러한 메커니즘은 여러 모형에서 보편적(universal)으로 나타나기도 하는데, 이를 바탕으로 비평형 복잡계에서의 하이브리드 상전이를 분류해 볼 수 있다.