포괄적 유물론에 기반한 수학 교수-학습 연구

Abstract

수학 교수-학습 과정에서 학습자의 지각이 전환되는 순간은 학습자가 기존의 습관, 전략, 의미체계에서 벗어나 새로운 수학적 의미를 탐구할 수 있게 되는 순간이라는 점이 논의되어 왔다. 이와 같이 지각이 전환되는 사건은 언어적 활동, 담론의 전개와 함께 수학적 의미를 결정짓는 매우 중요한 과정으로 알려져 있다. 특히, 아주 미세한 교사나 학생의 신체적 움직임이라 해도 학습자가 의식하지 못하는 지각 전환을 촉발하여 교수-학습 과정이 전개되는 방향을 규정할 수 있다. 이러한 점에서 연구자와 교사는 학생의 지각 전환을 촉진하는 여러 행위에 주의를 기울일 필요가 있다. 여러 연구는 학습자의 지각 전환이 잠재적인 전-의식적인 지각이 두드러지며 기존의 의식적이고 구조적인 지각이 붕괴되는 단계 그리고 전-의식적인 지각이 구조적인 지각으로 구조화되는 단계로 구분될 수 있다고 지적하고 있다. 또한, 학습자의 지각이 활동에 참여하는 여러 행위자와 함께 집단적으로 전환된다고 주장한다. 이와 같이 수학 교수-학습에서 학습자의 지각 전환과 관련하여 다양한 논의가 진행되어 왔으나, 관련 연구 대부분이 비-인간 물질의 행위성을 다소 간과하여 왔다는 아쉬움이 있었다. 또한, 기존 지각 전환 연구에서 이루어진 여러 통찰을 포괄적으로 수용하여 정리한 연구를 찾기 힘들다는 아쉬움도 있다. 이에 본 연구에서는 물질의 행위성을 강조한 포괄적 유물론의 배치 개념과 지각의 물질성 개념을 받아들이고, 특히 유물론적 관점에서 지각 전환과 학습 사이의 관계를 지적한 Deleuze의 논의를 수용한다. 포괄적 유물론과 Deleuze의 논의를 검토한 결과는 다음과 같다. 우선, 물질은 인간의 의도나 계획 혹은 인간이 그것에 부여하는 맥락과 문화로 환원되지 않으며, 다른 물질과 집단적인 구조적 배열, 즉 배치를 이루는 과정에서 새로운 의미를 드러내는 행위성을 지닌다. 즉, 물질에는 수학적 의미가 잠재되어 있고 여러 물질의 배치가 형성됨과 동시에 그 의미는 현실화되어 인간에게 드러나게 된다. 특히, 여러 물질의 배치가 형성되고 재배열될 때 언어적 활동이나 담론 이전의 차원에서 여러 변화가 나타나게 된다. 수학 교수-학습 과정에서 학습자의 지각은 이러한 여러 행위적 물질과 배치를 형성하는 과정에서 비자발적으로 전환되고, 이러한 전환은 기존의 인식 능력을 확장하는 사건으로 나타나게 되며 더 정교한 언어 사용 방식의 발달을 촉진할 수 있다. 그리고 물질과의 배치 형성을 통해 이루어지는 지각 전환은 잠재적인 미세지각이 현실화되며 의식적이고 구조적인 거시지각이 붕괴되는 단계와 미세지각이 새로운 거시지각으로 구조화되는 단계로 구분될 수 있다. 본 연구는 위와 같은 포스트휴머니즘의 논의를 바탕으로 수학 교수-학습이 이루어지는 과정에서 배치의 재배열을 통한 학습자의 지각 전환을 설명하는 배치 모델을 도출하였다. 배치 모델은 학습자의 지각 전환이라는 현상의 이해뿐 아니라, 지각 전환 과정에서 어려움을 겪는 학생의 변화를 위한 실제의 개선을 동시에 목표로 한다. 이에, 본 연구는 배치 모델로부터 실제 과제 설계와 수학 수업에서 지각과 배치를 고려하는 방법을 다음과 같이 이끌어내었다. 우선, 연구자와 교사는 과제 설계 단계와 수업 실행 과정에서 기존의 배치에 여러 물질과 신체의 움직임이 새롭게 나타나도록 하고 그것들이 서로 긴밀히 조정되며 배치의 재배열이 일어날 수 있는 환경을 제공해야 하고, 배치 안에서 나타나는 기존의 습관적 움직임의 패턴과 언어 사용 방식이 와해되고 새로운 습관적 움직임과 언어 사용 방식이 배치에 자리 잡을 수 있도록 촉진하는 물질을 제공해야 하며, 수업 실행 과정에서 학습자의 지각이 전환될 수 있는 배치의 재배열 현상에 주의를 기울여야 한다. 이러한 사항을 실제 적용한 결과를 상술하자면 다음과 같다. 첫째, 교실에서 배치의 재배열과 함께 미세지각의 현실화와 거시지각으로의 전환이 관찰되었다. 둘째, 배치가 재배열될 때 나타나는 미세지각의 현실화라는 사건은, 학습자가 기존의 습관, 전략, 표상, 의미체계에서 벗어나 새로운 수학 성질을 탐구할 수 있게 되는 수학 학습의 시작점이 된다는 점을 확인할 수 있었다. 셋째, 수학 학습이 마무리되기 위해 안정적이고 의식적인 거시지각이 형성되어야 한다는 점을 관찰할 수 있었다. 넷째, 배치가 재배열되는 과정에서 배치에 속한 여러 학생의 지각이 집단적으로 전환되는 현상이 관찰되었다. 다섯째, 교사가 부재한 상황에서도 행위적 물질의 작용을 통해 학습자의 미세지각이 현실화되고 거시지각이 형성될 수 있다는 점을 확인할 수 있었다. 여섯째, 학습자의 지각 전환은 여러 물질의 동시적이고 긴밀한 조정이 일어날 수 있는 수업 환경에서 일어났다. 일곱째, 학습자의 지각 상태를 추론하고 이에 기반을 두고 이루어진 교사의 교수학적 행위가 성공적인 수학 학습으로 이어질 수 있다는 점이 관찰되었다. 본 연구는 이론적인 논의를 통해 배치 모델을 도출하고, 모델로부터 과제 설계와 수학 수업에 시사점을 줄 수 있는 실천적인 논의를 전개하였으며, 이를 실제 수학 수업에 적용한 결과를 제시하였다. 본 연구는 교실 내에서 짧은 시간 동안 일어나는 활동을 분석한 미시발생론적 연구에 속하기에, 연구 결과를 일반화하기 위해 배치의 재배열을 다룬 장기적인 발달론적 연구 및 거시적인 연구가 추가로 요구된다. 또한, 본 연구는 여러 학습자가 포함된 배치의 재배열이 나타나기 쉬운 초등 대수와 중등 기하 내용을 다루고 있기에, 다양한 내용 영역에서 나타나는 배치와 지각의 전환을 확인할 필요도 있다. 마지막으로, 포괄적 유물론의 이론적 관점을 충실히 따르는 수학 교수-학습 과정 분석 방법과 서술 방식에 대한 연구의 필요성도 제기된다.

It has been discussed that the moment when the learner's perception is transformed in the mathematics teaching-learning process is the moment when learners can explore new mathematical meanings away from existing habits, strategies and semantic systems. The event of perceptual transformation is known as a very important process of determinating the virtual mathematical meaning with the development of discourse. Several studies point out that learner's perceptual transformation can be divided into two stages; the first stage in which conscious and structural perception is transformed into pre-conscious perception and the second stage in which pre-conscious perception is structured into conscious and structural perception. It is also argued that learners' perception are collectively transformed with the various agents involved in the activity. There have been various discussions on the perceptual transformation of learners in mathematics teaching-learning, but most of the related studies have overlooked the agency of non-human materials. Also, it is hard to find researches that comprehensively embraces the insights of existing studies on perception. Thus, this study adopts the concept of assemblage and the concept of materiality of perception emphasizing the agency of material, and Deleuze's discussions, which points out the relationship between perceptual transformation and learning. The results of the review of inclusive materialism and Deleuze's discussions are as follows. First of all, materials are not reduced to human intentions or plans, or to the context and culture of human, and it actualizes new meaning in the process of forming a collective structural arrangement, or assemblage, with other materials. The learner's perception is transformed in the process of rearrangement of assemblage, and this transition is seen as an event that extends the existing cognitive capability. And the process of perceptual transformation with rearrangement of assemblage can be divided into the transition from conscious and structural macro-perception to pre-conscious micro-perception and the transition from micro-perception to new macro-perception. Based on the above discussions of posthumanism, this study drew an assemblage model that explains the transformation between macro-perception and micro-perception with the rearrangement of learning assemblage in the process of mathematics teaching-learning. And from this model, the ways to consider the transformation of perception and the rearrangement of assemblage in task design and actual lesson were derived. The results of the study are detailed below. First, sequential transformation between macro-perception and micro-perception was observed in the classroom with rearrangement of learning assemblage. Second, it was confirmed that the moment of the actualization of micro-perception is the starting point for mathematics learning, which allows learners to explore new mathematical properties away from existing habits, strategies, representations and semantic systems. Third, this study could observe that stable and conscious macro-perception should be formed to complete mathematical learning. Fourth, the learner's perceptual transformation took place in a learning environment in which simultaneous and close coordination of various materials could occur. Fifth, it was observed that the perception of several students belonging to the learning assemblage was collectively transformed in the process of rearrangement of various materials. Sixth, even in the situation of absence of teachers, through the agency of materials, the learner's micro-perception could actualize and macro-perception could be formed. Seventh, it was observed that the teacher's pedagogical behavior based on the reasoning of the learner's perceptual state could lead to successful mathematical learning. The following are the limitations of this study. Since this study belongs to the micro-genetic study that analyzes activities taking place for a short period of time in the classroom, further long-term and macro studies dealing with the rearrangement of learning arrangements are required to generalize the results of the study. It is also necessary to study the transformation of perception that occur in different contents areas. Finally, there is also the need for further researches on methods that follow the theoretical perspective of inclusive materialism.