Curvature flows with obstacles

Abstract

Curvature flows are geometric evolutions of a hypersurface moved by curvature quantities such as the mean curvature and the Gauss curvature, which have been applied in material science and image processing. The main difficulty to treat curvature flows is development of singularities in finite time which arises in many case. In this thesis, we would like to propose a method to continue curvature flows for a long time by placing obstacles enclosed by the initial hypersurface. We apply the method to prevent the development of singularities for the mean curvature flow when the initial hypersurface is given by an entire graph and for the Gauss curvature flow when the initial hypersurface is strictly convex and closed. Moreover, we investigate the obstacle problem for the parabolic Monge-Ampere equation which is closely related to the Gauss curvature flow. Our approach is based on the penalization method by allowing the evolution of hypersurface can pass the obstacle, with the property that the more the hypersurface pass the obstacle, the more penalty is imposed on the velocity.

곡률 흐름이란 평균 곡률이나 가우스 곡률과 같이 곡률에 대한 양으로 모양이 변하는 초곡면의 기하학적 변화를 말하며, 재료과학 및 영상처리 분야에서 응용되고 있다. 곡률 흐름을 다루는데에 있어 가장 큰 어려움은 유한시간 내에 발생하는 특이점으로, 많은 경우에 이 특이점이 발생한다. 이 학위논문에서는 초기 초곡면의 안쪽에 장애물 을 위치시켜 곡률 흐름이 특이점을 넘어 오랜시간 존재하는 방법을 제시하고자 한다. 이 방법을 적용하여, 그래프로 주어진 초기 초곡면에 대한 평균 곡률 흐름 및 닫혀있고 완전 볼록인 초기 초곡면에 대한 가우스 곡률 흐름에 대해 특이점의 발생을 막는다. 또한, 가우스 곡률 흐름과 밀접하게 관련된 포물형 몽쥬-앙페르 방정식에 대한 장애물 문제를 고려한다. 본 연구는 패널티 방법론에 기반하여, 초곡면이 장애물을 통과할 수 있도록 허용하는 대신, 통과한 만큼 패널티를 부과하는 방법을 사용하였다.