$W^{1,p}$ Estimates for Elliptic Equations with BMO Coefficients in Quasiconvex Domains

Abstract

In this paper, we find an optimal gradient estimate for a divergence form elliptic equation. The domain is a bounded quasiconvex domain and the nonhomo- geneous term is a given vector-valued function. The matrix of coefficients is uniformly elliptic, uniformly bounded and belongs to the John-Nirenberg space with small BMO semi norms. These are contents of [9] whose methods are similar to those in [1], but their presentations are somewhat rough. We revisit that paper to give a clean and detalied proof for such W1,p regularity with more elaborate and precise computations.

이 논문에서는 발산형 타원 방정식의 그래디언트 가늠 이론을 공부한다. 1952년에 [6]이 출판된 이래로 지난 수십년간 그래디언트 가늠 이론을 얻어낼 수 있는 가능한한 일반적인 영역과 계수함수가 무엇일까에 대한 많은 연구가 진행되어왔다. 2004년에 [1]에서, 라이펜버그 평탄 영역 위에서 작은 존-니렌 버그 유계평균섭동 계수를 갖는 방정식에 대해 그래디언트 가늠 이론이 규 명되었다. 근래에 [9]에서 이 결과가 준볼록 영역으로 확장되었다. 그러나 이 논문은 계산의 생략이 많고 정확하지 않아 이해하기가 쉽지 않았다. 그래서 이 논문에서는 이들의 결과를 자세한 계산을 수행하면서 보완하였다.