The Best-of-Five Rounds' Contest with Asymmetric Players

Abstract

This paper shows the solution of the fully rational model of the Best-of-Five rounds' contest between symmetric players. The complexity of the equilibrium in a fully rational model of the best-of-N contest between asymmetric players rapidly increases as N increases, so we find the general form of the solution first and use them to get the equilibrium at each stage.

We will see how the asymmetry between the players affects the probability of winning at each stage and what characteristics of equilibrium have. We find that the results are consistent with those in the previous study, which used the Best-of-Three model with asymmetric players. We suggest the reason why the Best-of-Five model is better to distinguish the effect of strategic momentum and psychological momentum.

Also, We suggest testable hypotheses, interpretations of results, and theoretical frequencies calculated based on the equilibrium as a benchmark for the test using the professional tennis data like that have done in the previous study.

삼세판이라는 말이 누구에게도 낯설게 느껴지지 않을 만큼 다전제 형식의 경쟁은 일상적인 가위바위보 게임부터, 프로 스포츠 경기에 이르기까지 광범위하게 이루어진다. 특히 여러 종목에서 정규시즌 이후의 플레이오프나 토너먼트의 상위 라운드는 거의 대부분 다전제 형식으로 진행된다.

이 논문에서 관심을 두고 있는 것은 다전제에서 존재하는 모멘텀이다. 다전제의 매 경기 결과가 각 플레이어 또는 팀의 역량에 의해 독립적으로 결정되는 것이 아니라, 이전 경기의 결과 역시 이후 경기의 결과에 영향을 준다는 것이다. 이런 현상은 행동연구학이나 경제학 공통의 관심 주제이며, 대표적으로 심리적 모멘텀(Psychological Momentum)과 전략적 모멘텀(Strategic Momentum)이 다전제에서 연승을 야기하는 대표적인 요인으로 거론된다.

초기의 연구에서는 동질적인 참가자 간의 3전 2선승제 경쟁에서 각 라운드의 결과가 두 참가자의 선택된 노력 수준에 의해 확률적으로 결정된다는 가정 하에서 모델을 분석하고, 프로테니스경기의 데이터를 이용해 검정을 하였다. 이후 여기에 참가자 간의 비대칭성을 도입한 이론적 모델을 바탕으로 기존 연구보다 더 폭넓은 데이터를 이용하여 검정한 연구에서 1) 심리적 모멘텀이 부재하는 첫 번째 라운드는 전략적 모멘텀으로 잘 설명이 가능하고 2) 전체적으로 전략적 모멘텀과 심리적 모멘텀이 함께 작용하고 있음을 보였다.

이 논문은 기존의 연구에서 사용된 비대칭적 참가자들에 의한 3전 2선승제의 이론적 모델을 확장하여 5전 3선승제의 설정에서의 균형을 도출하고, 결과를 해석하여 더 폭넓은 데이터를 이용한 검정의 준거로 제시하고자 한다. 테니스 종목 중 가장 인기가 많은 메이저 토너먼트 남자 부문은 대부분 3선승제로 진행된다.

비교적 간단한 모델의 설정에도 불구하고, 역진귀납의 과정에서 비대칭의 정도를 나타내는 변수의 존재로 인해 다전제의 라운드 수가 많아질수록 논문의 부록에서 볼 수 있듯이 균형의 복잡성이 급격하게 증가하게 된다. 이에, 우선 이 논문의 모델에서 일반적인 균형의 형태를 분석한 뒤, 역진 귀납의 순서를 따라 각 라운드에서의 균형을 도출하고, 그 결과를 해석한다. 이 논문의 전신인 2선승제 비대칭 참가자 모델에서 얻을 수 있는 결론들이 3선승제 모델에서도 일관되게 확인되는 것을 알 수 있었을 뿐만 아니라, 모델의 균형을 해석하는 과정에서 2선승제의 모델에서는 존재하지 않았던, 다중 경로를 가짐과 동시에 전략적 모멘텀이 점수가 앞서고 있는 플레이어에게 존재하는 노드가 새롭게 등장하는 것을 확인함으로써, 3선승제 모델로 확장하여 분석하는 의의를 제시함과 동시에 더 긴 다전제의 모델과 데이터를 이용하면 두가지 모멘텀이 작용하는 정도를 검정을 통해 더욱 효과적으로 구분할 수 있고, 이를 전략적 모멘텀의 존재에 대한 강력한 근거로 제시할 수 있을 것이라는 추론을 할 수 있다.

또한, 기존의 연구에서 이론적 모델과 실제 경기의 데이터 간의 비교를 위해 스포츠 베팅에서의 배당률 기록을 이용하였다. 이 논문에서 실제 데이터와의 비교까지 이루어지는 데에는 한계가 있어, 본문 마지막 부분에 이론적으로 도출된 전체 균형 승률과 각 라운드의 승률 간 관계를 나타낸 수식과 그래프를 제시하고 해석하는 것으로 이 논문을 마치게 된다.