Cauchy problems for nonlinear wave equations with low regularity data

Abstract

This dissertation is devoted to the study of Cauchy problems for nonlinear wave equations with low regularity initial data. Firstly, the author is concerned with low regularity local well-posedness of the non-abelian Chern-Simons-Higgs system in the Lorenz gauge, which is a system of nonlinear wave equations on $\mathbf R^{1+2}$. Secondly, we establish global well-posedness and scattering of the Hartree-type nonlinear Dirac equations on $\mathbf R^{1+3}$ with Yukawa potential for small critical Sobolev data with additional angular regularity. When one deals with low regularity problems of given equations, the main obstacle is the presence of {\it resonant interaction}. To relax such a interaction, we utilse an additional cancellation typically given by {\it null structure}, which gives rises to better regularity properties. However, even though we make use of a fully null structure, it is not easy to attain the scaling critical regularity, since parallel interactions resulting in resonance in the nonlinearity grow stronger as spatial dimension lower. To overcome this difficulty, we exploit the rotation generators, which plays a distinguished role to eliminate parallel interactions in the nonlinearity. In this manner, we handle quadratic-type nonlinearity and investigate global existence and scattering for solutions to equations.

이 학위 논문에서는 낮은 정칙성을 가지는 데이터에 관한 비선형 파동 방정식의 코시 문제를 연구하였다. 첫번째로 2차원 유클리드 공간 위에서의 파동 방정식으로 나타나는 로렌쯔 게이지 위에서의 비가환 천-사이먼-힉스 방정식에 관한 낮은 정칙성을 가지는 해의 국소적 성질을 관찰하고, 두번째로 유카와 퍼텐셜을 가지는 하트리 타입 비선형 디락 방정식에 대하여 각에 대한 정칙성을 허용한 상황에서 임계 정칙성의 해에 대한 대역적 성질을 연구하였다. 주어진 방정식에 대한 낮은 정칙성 문제를 해결할 때 주요 문제는 비선형항이 가지는 공명 상호작용인데, 이를 해결하기 위해 방정식의 영 형식으로 주어지는 상쇄 현상을 이용하였다. 하지만 유클리드 공간의 차원이 낮아질수록 공명 상호작용이 강해지기 때문에 영 형식을 사용하더라도 임계 정칙성 데이터에 관한 해의 성질을 연구하는 것은 쉽지 않은 일인데, 이를 위해 회전 연산자를 도입했다. 이 연산자가 비선형항의 공명 상호작용을 완화하는 역할을 하기 때문이다. 이와 같은 방법으로, 방정식의 대역적 해와, 그 해의 산란성을 얻을 수 있다.