학교수학의 공약불가능성 현상 연구

Abstract

서로 다른 배경지식을 가진 사람들의 의사소통이 효과적으로 이루어지지 않는 경우가 존재한다. 과학분야에서는 다른 이론으로 사고하는 사람들이 동일한 언어를 사용하고 있지만 서로를 이해하지 못하는 현상을 패러다임의 공약불가능성으로 설명한다. 이와 유사한 모습을 수학교실에서도 어렵지 않게 찾아볼 수 있다. 때때로 학교현장에서 교사와 학생은 동일한 주제에 대해 말하고 있지만 서로의 관점을 이해하지 못하며 의사소통이 효과적으로 이루어지지 않는 현상이 발생한다. 만약 수학교실에서 의사소통이 적절히 이루어지지 못한다면 수학학습이 효과적으로 이루어지기 어렵다. 이에 본 연구는 수학교육 현장의 이러한 공약불가능성 현상을 이해하는 목적으로 수행되었다. 본 연구는 먼저 공약불가능성에 대해 이론적 탐색을 하였다. 공약불가능성이라는 용어의 기원이 되는 그리스 수학의 공통 단위로 잴 수 없는 양이 존재한다는 발견으로부터, 쿤의 과학혁명 이론의 공약불가능성 개념, 그리고 수학교육의 담론적 관점에서 사용되는 공약불가능성의 의미를 선행연구를 통해 검토하였다. 공약불가능성의 수학사적 분석 결과 공약불가능한 양의 발견은 단지 기존에 알지 못했던 양의 존재성 발견 이상의, 그리스 수학 전반에 근본적인 변화를 가져온 중대한 사건이었음을 확인하였다. 다음으로 쿤의 공약불가능성 개념에 대해 이론적 고찰을 하였다. 쿤의 공약불가능성은 초기 방법론적 공약불가능성, 의미론적 공약불가능성, 관찰적 ‧ 존재론적 공약불가능성의 세 가지 측면이 있었지만 후기에는 패러다임 사이의 분류체계의 전환이라는 의미론적 공약불가능성에 집중되었다. 그리고 이러한 쿤의 분류학적 공약불가능성은 존재론적 전환으로서 일반화될 수 있음을 확인하였다. 마지막으로 최근 수학교육의 담론적 접근의 공약불가능성에 대한 이론적 논의들을 검토하였다. 이론적 탐색의 결과 담론 사이에 메타규칙이 변화할 때와 수학적 대상의 존재론적 전환이 일어날 때 공약불가능성이 발생함을 확인하고, 이를 공약불가능성 현상 분석에 사용하고자 하였다. 공약불가능성의 이론적 탐색을 바탕으로 학생들의 무한소 담론을 분석하였다. 학생들이 극한 담론의 교육과정을 학습하지만, 여전히 무한소 관점을 갖는 현상들이 보고되고 있다. 그동안 수학교육 연구들은 학생들이 어떤 수학적 내용과 관련하여 무한소 관점을 갖는지, 그리고 무한소 사고가 어떤 양상으로 나타나는지를 중심으로 이루어져 왔다. 본 연구에서는 학생들이 극한 담론의 교사와 의사소통하고, 극한 담론의 교과서를 공부하면서도 무한소 담론을 가진 현상이 공약불가능성과 관련이 있다고 보고 이를 분석하고자 하였다. 우선 학생들의 무한소 관점의 기원을 파악하기 위해 수학사에서 무한소와 관련 있는 연속체의 구성과 무한분할 및 극한 개념의 역사를 알아보았다. 이를 통해 수학사에서 무한소 개념이 나타난 양상과 맥락을 확인하였다. 또한 그리스 시대부터 수학자들에게도 꾸준히 나타났던 무한소 개념이 현대 학문수학의 정리들로 인해 제외되었다는 사실로부터, 무한소 관점이 학생들에게 나타나는 것은 자연스러우며 또한 극복하기 어려운 개념임을 확인하였다. 다음으로 공약불가능성의 이론적 탐색 결과를 적용하여 무한소 담론과 극한 담론의 관계를 분석하였다. 수학적 대상의 존재론적 변화와 메타규칙을 중심으로 분석한 결과 무한소 담론과 극한 담론은 공약불가능함을 확인하였다. 또한 수학교육 현장에서 나타나는 무한소 담론과 극한 담론의 공약불가능성 사례를 두 가지 제시하였다. 마지막으로 본 연구는 예비교사와 고등학생들을 대상으로 이들이 무한소 관점을 가졌는지 여부와 그들이 가지고 있는 구체적 담론 양상 및 그들의 담론이 극한 담론과 공약불가능한지를 사례연구를 통해 확인하였다. 해석학을 학습한 경험이 있는 일부 예비교사들은 무한소 관점을 갖고 있었다. 일부 예비교사들의 메타규칙은 해석학의 메타규칙 달랐으며, 무한소와 무한히 큰 수가 존재한다는 관점을 갖고 있었으므로 이들은 극한 담론으로 전환하지 못하고 무한소 담론에 머물러 있음을 관찰할 수 있었다. 고등학생들의 경우 일부 학생들이 무한소와 무한히 큰 수가 존재한다는 인식을 보였고 이와 관련된 구체적 내러티브들을 확인하였다. 특히 본 연구에서는 일부 학생들이 학교수학의 메타규칙에 대해 의문을 품고 있었으며, 학교수학의 메타규칙은 잠정적이고 일시적이라고 생각하고 있음을 관찰할 수 있었다. 본 연구는 공약불가능성의 이론적 탐색을 통해 메타규칙의 변화와 수학적 대상의 존재론적 전환이 담론의 공약불가능성의 요소임을 확인하였으며, 예비교사와 학생들에게서 보인 무한소 사고를 공약불가능성의 관점에서 분석하였다. 또한 공약불가능성이 수학교육의 다양한 현상과 문제를 분석하는 도구로서 기능할 수 있음을 확인하였다.

It is difficult to communicate effectively between people with different theories. Science explains this phenomenon as incommensurability between paradigms. Even if people with different paradigms seem to speak the same language, they do not understand each other and it is difficult to communicate. A similar situation occurs in mathematics classrooms. Sometimes in classrooms, although a teacher and students are talking about the same subject, they do not understand each other. If communication is not done properly in a mathematics classroom, it is difficult to learn mathematics effectively. Therefore, The purpose of this study is to understand the phenomenon of incommensurable discourses in mathematics education. This study explored incommensurability theoretically. First this study identified the context and implications of the Greek discovery that there are quantities that cannot be measured in common measure, which is the origin of the term incommensurability. As a result of the historical analysis of incommensurability, it was identified that the discovery of the incommensurable quantity was a significant event that brought fundamental changes in Greek mathematics, beyond the discovery that there was a previously unknown quantity. Second, a theoretical study was conducted on Kuhn's concept of incommensurability. Kuhn's incommensurability had three aspects which are methodological incommensurability, semantic incommensurability, and observational-ontological incommensurability. However, in the later period, the focus was on the semantic incommensurability between paradigms, which was characterized by a taxonomic shift. It was also identified that this can be generalized to ontological transformation. Third, the meaning of incommensurability used from the discursive approach to mathematics education was reviewed. In this perspective, the transition between incommensurable discourses is essential for a qualitative leap. In mathematics learning, it was identified that the change of a mathematical object and the change of the meta-rule bring a leap in the level. As a result of the theoretical investigation, it was identified that the incommensurable phenomenon occurs when meta-rules change and when the ontological transformation of mathematical objects occurs between discourses, and this was used for the analysis of the incommensurable discourses. Based on the theoretical analysis of incommensurability, the students' discourse on infinitesimal was examined. Although students learn the curriculum of limit discourse, it is reported that they still have an infinitesimal discourse. The research on the students' infinitesimal thinking was focused on in what context the students showed the infinitesimal perspective and what form it appeared in. This study focused on the fact that students have infinitesimal discourse while they communicate with teachers of limit discourse and study textbooks of limit discourse. Therefore, this study explored the phenomenon focusing on the incommensurability of discourses. First, to understand the origin of the students' thought on infinitesimal, this study explored the composition and infinite division of the continuum and limit concept in the history of mathematics. Through this, it was identified how the concept of infinitesimal appeared in history. Also, from the fact that the concept of infinitesimal, which had been steadily appearing to mathematicians since the Greek era, was excluded due to analysis in the 19th and 20th centuries, it was identified that it is natural for students to have the infinitesimal conception and the conception of infinitesimal is difficult to overcome. Next, the relationship between infinitesimal discourse and limit discourse was analyzed focusing on the ontological transformations of mathematical objects and meta-rules. As a result, it was shown that the infinitesimal discourse and the limit discourse are incommensurable. In addition, two cases of incommensurability of the infinitesimal discourse and the limit discourse appearing in mathematics education were presented. Finally, this study tried to empirically examine whether pre-service teachers and high school students have an infinitesimal conception. Even though they had already learned analysis, some pre-service teachers stayed in the infinitesimal discourse. In this case, the meta-rules of pre-service teachers were different from those of analysis. Also, since some pre-service teachers had the view that infinitesimals and infinitely large numbers exist, it was shown that they could not transfer to the limit discourse and remained in the infinitesimal discourse. In the case of high school students, some students also showed the thought that infinitesimals and infinitely large numbers exist, and specific narratives were identified. In particular, this study showed that the students had doubts about the meta-rules of school mathematics and thought that the meta-rules of school mathematics were a provisional and temporary convenient method for teaching. This study showed that changes of meta-rules and ontological transformation of mathematical objects are factors of incommensurability between discourses through theoretical exploration of incommensurability. In addition, this study showed incommensurability can be used as a tool to analyze the phenomenon of mathematics education.