A Heuristic Proof of the Radon-Nikodym Theorem

Abstract

Radon-Nikodym정리는 Lebesgue의 수렴정리, Fubini정리와 더불어 현대 적분론의 가장 중요한 정리이다. Lebesgue의 수렴정리는 점별수렴하는 함수들의 적분의 극한과 극한 함수의 적분 사이의 관계를 설명하고 Fubini정리는 이차원 적분과 일차원 반복적분과의 관계를 설명하는 정리이다. Radon-Nikodym정리는 한 측도가 다른 측도에 대하여 절대연속이면 한 측도를 다른 측도의 적분형으로 표현할 수 있다는 정리고 여러 가지의 증명 방법이있다. 본 논문에서는 적분형으로 표현하기 위하여 필요한 함수를 찾기 위하여 먼저 측도 공간을 잘 세분하고 이들 세분으로부터 단조증가하는 함수들을 찾은 다음 이들 함수의 극한함수가 찾고자하는 함수임을 Lebesgue의 단조증가수렴정리를 이용하여 증명하였다. 이 방법은 기존의 여러 증명보다 초보적이고 직관적이며 다른 고등수학의 이론을 사용하지 않았다. 뿐만 아니라 여기에 제시된 증명 방법에 근거하면 자연스럽게 Radon-Nikodym정리를 예측할 수 있을 것이다.