함수의 정의역 개념과 연속성에 대한 고찰

Abstract

본 논문은 학교 수학에서 가르치고 있는 함수 단원의 정의역에 대하여 다룬다. 함수는 정의역과 공역, 그리고 함수 관계의 3요소로 이루어지지만 학교수학에서는 함수 관계를 강조함에 따라 많은 학생들이 함수에서 정의역과 공역의 개념을 잘 이해하지 못하고 어려워하는 것을 알 수 있다. 하지만 정의역과 공역의 구조는 함수의 정의뿐만 아니라 성질에도 많은 영향을 미치며 학교수학에서 정의역과 관련되어 논의되는 문제들이 다수 있다. 따라서 본 논문에서는 정의역에 관한 오류들을 조사하여 원인과 해결방법을 제시하였으며 특히 한 점에서 정의되지 않은 유리함수의 연속성문제와 관련된 심화된 논의를 라카토스의 반례대응방법을 이용하여 분석하였다. 구체적으로 정의역이란 함수를 구성하는 요소로써 함수 관계, 공역과 함께 주어시지는 것임에도 불구하고 '함수식을 제시하고 정의역을 구하도록 요구하는 문제'에 대하여 다루었다. 두 번째로는 보통 학교수학에서 다루는 많은 함수가 정의역이 실수 전체인 함수를 다룸으로써 정의역이 실수 전체가 아닌 함수를 다룰 때 발생할 수 있는 문제에 대하여 논의하였다. 또 미적분과 함수의 합성 과정에서 함수의 정의역을 고려하지 못하여 생기는 문제를 다루었다. 특히 y=1/x과 같은 함수의 연속성과 관련된 문제는 수학교육에서 많이 논의되고 있는 주제이다. 본 논문에서는 이 문제에 대하여 논의되고 있는 선행연구를 분석하고 정의된 점에서만 함수의 연속성을 판단해야 한다.는 설명을 라카토스의 반례대응방법 중 예외배제법과의 유사점을 찾아서 분석하였다. 그리고 보조정리합체법과 유사한 역할을 할 수 있는 대안을 제시하였다. 마지막으로 이 문제를 위상수학적으로 해석하고 연속성의 역사에 비추어 시사하는 바를 찾아보았다.