실행식 기반의 내재동기 유발 '초기대수' 학습과제 설계

Abstract

4차 산업혁명시대로 접어들면서 수학의 중요성이 예전보다 더 커지고 있다. 그러나 한국에서는 수학 학습을 포기한 학생들, 소위 수포자가 무시할 수 없을 만큼 많이 발생되고 있다. 다양한 연구 결과에 따르면 학생들이 수학을 포기하는 이유는 형식화된 식에 대한 이해부족과 상당한 관련이 있다. 구체적인 수를 다뤘던 초등수학은 중등수학 단계로 접어들며 문자 위주의 식을 주로 다루는 대수로 점차 형식화된다. 그러나 문자에 내포된 변수개념을 인지하지 못해 일반화도구로서 문자식을 이해하지 못하는 학습자가 많다. 이에 대해 Freudenthal은 구체적인 경험에서 형식적인 표현으로 바로 이행하는 것을 원인으로 지적하면서 학습자에게 일반화하는 경험을 제공할 것을 주장했다. 본 연구는 학생으로 하여금 구체적인 사례에서 패턴을 인식하고 점차 형식적인 식으로 표현하도록 하는 패턴의 일반화에 주목했다. 패턴의 일반화는 대수를 이해하는데 필요한 경험을 제공하는 초기대수(early algebra)로서 세계 각국의 교육과정에서 형식적인 대수교육에 앞서 제시되고 있다. 단, 패턴의 일반화활동이 주어진 문제의 패턴을 찾아 지필로 작성하는 활동으로 구성되면 학습자의 적극적인 참여를 기대하기 어렵다. 학습자 입장에서는 패턴의 일반화를 해야 하는 이유도 없고, 자기결정성이론(SDT)에 의하면 자율성과 유능감이 충족되어야 내재동기가 유발되는데 이런 방식으로는 학습자가 자율성을 느낄 수 없기 때문이다. 또한 교실에서는 다양한 수준의 학생이 동시에 학습하기에, 지필환경으로는 교사가 학습자에게 각자 수준에 걸 맞는 과제를 제공하기도 어렵고 개별적으로 피드백을 주기도 힘들다. 종합하면 지필환경에서는 모든 학습자에게 유능감을 느끼도록 하기가 쉽지 않다. 따라서 본 연구는 실행식(executable expression)을 기반으로 패턴의 일반화 활동을 구성하였다. 실행식은 가상공간인 터틀 쌓기나무 환경에서 기호의 의미가 쌓기나무 이미지로 실행되는 기호표현체계이다. 학습자는 가상공간에서 자유롭게 무언가를 만들어볼 수 있다. 실행식은 이해하기 쉬운 구체적인 기호부터 시작해서 점점 추상화되기 때문에 모든 학습자는 자신의 수준에 맞는 기호를 사용할 수 있다. 또한 쌓기나무 이미지는 학습자가 가진 사고에 대해 피드백 역할을 할 수 있다. 이로써 교실에 있는 모든 수준의 학습자가 유능감을 느낄 수 있다고 기대하고 중학생을 대상으로 정규 교육과정에서 적용해보았다. 터틀 쌓기나무 환경은 학습자에게 자신이 가진 내재적 표상이 옳다는 피드백을 줬으며 내재적 표상 중 어디에 오류가 있는지 찾아볼 수 있도록 하는 의사소통 수단이 됐다. 또한 자신의 학습속도에 맞춰서 자신이 할 수 있는 수준의 기호를 사용하므로 개별적으로 일반화활동을 할 수 있었고 어떤 수준의 학습자도 자신에게 도전적인 과제를 만날 수 있었다. 이는 모든 학생들에게 유능감을 느끼게 하였고, 변수개념을 이해하는 데 필요한 심상을 형성하였으며 교육과정의 대수를 이해하는 데도 연결고리역할을 하였다. 게다가 만들기 과제에서 자율성을 느낀 것은 물론 추상화된 기호를 사용해서 더 복잡한 구조물을 간단하게 만들겠다는 학습의 필요성을 인지해 학습자 스스로 노력해서 이해해보려고 하고 재미를 느끼는 태도로 나타났다. 더불어 실행식의 구조화된 정도와 가상공간에서 만든 완성품의 복잡도로 학습자의 추상화 ․ 자동화 역량도 어느 정도 객관적이면서도 공정하게 평가할 수 있었다. 그동안 수학교과가 가진 추상성으로 인해 수학을 배우는 학습자와 가르치는 교사 모두가 어려움을 느껴왔다. 본 연구는 컴퓨터 환경을 학습 환경에 적용하면 지필환경에서 겪는 교수학습과정 상의 어려움을 해소할 수 있다는 것을 확인했다. 이는 다양한 수준의 학생이 혼재하는 학교 현장에 컴퓨터 환경을 적용했을 때 학습의 취지를 실현할 수 있는 가능성이 높아질 수 있다는 의미가 있다. 나아가 수학교과가 우수한 학생을 거르는 도구가 아닌 모든 학생의 사고능력을 향상시키는 교육과정이 될 수 있다는 데 의의가 있다.

As the fourth industrial revolution age has arrived, importance of mathematics has been growing than ever before. On the contrary the number of Supoja, who has abandoned mathematics learning , has been so increasing that they can no longer be connived at in Korea. Through various previous studies, it turned out that most students give up studying math due to difficulties of understanding formalized expressions. Elementary mathematics dealing with specific amount becomes formalized as algebra dealing with characterized expression. However, there are many learner who could not understand characterized expression as a generalization tool because of lack of understanding the concept of variables in a character. Freudenthal insisted we have to provide learners with a generalizing experience, as noting that the immediate transition from a specific experience to a formal expression caused the problem. Therefore this study has paid attention to Generalization of Patterns which makes students recognize patterns and gradually formalize in some specific cases. Generalization of Patterns is presented as early algebra in advance of the formal algebraic education in the curriculum all over the world. However, if Generalization of Patterns is made up of finding patterns in a given problem and writing them, it would be difficult to expect that learners actively participate in Generalization of Patterns. Learners do not have any reason to generalize patterns. According to the theory of self-determination (SDT), people have to feel autonomous and competent to have internal motivation. But they can't feel autonomy and competent with this way. Since students of different levels learn at the same time in a classroom, under the writing environment it is difficult for teachers to provide learners with tasks that are appropriate to their own level and to give them feedback individually. In sum, it is not easy to make all learners feel competent in the writing environment. Thus we constructed Generalization of Patterns based on Executable Expression. Executable Expression is a symbol expression system where the semantics of the symbol are executed as a Building Block image in Turtle Building Block environment as virtual space. Leaners can be free to make something in virtual space. Because Executable Expression is gradually abstracted from specific symbol to formal symbol, all learners will be able to use symbols that match their own level. Also Building Block serves to learner's thought as feedback. As a result, we expected that all learners can feel competent, and applied it to middle school students during regular classes. Turtle Building Block Environment gives learners feedback that the intrinsic representation of them is correct and has become a means of communication that help learners to look for errors in the inherent representations. Because the leaners can use symbols depending on their learning speed, they can do generalization individually and learners at any level were able to meet a challenge to themselves. It made every student feel competent and have mental image which needs for understanding the concept of variables, and also served as a link in understanding algebra. As the students felt autonomous in the making activity and recognized the need of learning to make more complex structures by using abstract symbols, they tried to understand and had fun. Furthermore, we can evaluate leaner's ability of abstraction and automation by the degree of efficiency of Executable Expression and the complexity of output in a somewhat objective and fair ways. Up to now, both learners and teachers have found it difficult to learn and teach math because of the abstraction of mathematics. This study found that applying the computer environment to learning environment can resolve the difficulties arising during teaching process in the writing environment. It is meaningful that the possibility of realizing the purpose of mathematics education can grow when the computer environment is applied to school field with students of different levels. Furthermore, the mathematics can be an education curriculum enhancing the thinking ability of all students rather than just filtering out excellent students.