우리나라, 인도, 핀란드, 호주의 수학 교과서 과제 비교

Abstract

Textbooks serve as a means of ensuring that the intent of a curriculum is well achieved in the classroom. In this regard, mathematical tasks are very important for stimulating students curiosity and eliciting their participation. In particular, the tasks presented in the number and operation strand during the first grade of middle school are the bases for learning mathematics in the future. It is also necessary to present good tasks because students may have difficulties learning algebra if they only deal with procedural tasks. However, few studies have been conducted to investigate the characteristics of the tasks in the number and operation strand. On the other hand, many researchers have compared the tasks by dividing their levels of cognitive demands into Memorization (M), Procedures Without Connections (PNC), Procedures With Connections (PWC) and Doing Mathematics (DM) to elicit implications for the mathematical tasks. Previous studies have pointed out that Korean textbooks consist of tasks with low levels (M, PNC) of cognitive demands. Hence, some researchers have suggested that the tasks with high levels (PWC, DM) of cognitive demands should be presented to students. In order to see whether the above discussions are valid or not in the number and operation tasks, this study compared the tasks in middle school mathematics textbooks used in Korea with those used in India, Finland, and Australia. The purpose of this work is to propose implications for the tasks in mathematics textbooks, focusing on the number and operation strand. For this study, the tasks in two Korean textbooks, one Indian textbook, one Finnish textbook and one Australian Textbook were analyzed for two months starting in September 2019 to investigate the levels of cognitive demands. In addition, considering the potential impact of the tasks in the number and operation strand on learning algebra, algebraic thinking required in those tasks was compared for each level of cognitive demands. The results show that first, the proportion of the M tasks is higher in the Korean textbooks than those in other countries. This is because tasks of filling empty spaces, which have students memorize mathematical concepts, are presented in each chapter in Korean textbooks. Second, the PNC and PWC tasks account for more than 80 percent of the entire tasks in the four countries textbooks. This is attributed to the fact that there are many arithmetic tasks that use algorithms or specific procedures. Here, the proportion of the PWC tasks is the highest in the Australian textbook. This reflects the trend of Australian education that stresses a complex problem-solving process because of the concern about the syndrome of shallow teaching. Third, the proportion of the DM tasks is the highest in Indian textbook. This results from many tasks that require the observation and generalization of patterns to reflect the intent of the Indian curriculum. With respect to algebraic thinking, the textbooks of the four countries commonly present tasks related to expanding the concept of numbers and performing basic mathematical operations of rational numbers. Although the types of mathematical operations are more variable in Korean textbooks compared to other countries, differences between the two Korean textbooks are not noticeable. This is because the tasks in Korean textbooks should comply with the achievement standards in the curriculum. The Australian textbook presents high-level arithmetic tasks that require algebraic explanation of patterns. This relates to the Australian curriculum that emphasizes the extension and application of the laws and properties of arithmetic to algebraic terms and expressions. The Indian textbook, at all levels of cognitive demands, presents tasks which require students to infer the fundamental properties. This is based on the Indian curriculum that emphasizes observing patterns and learning through generalization. The Finnish textbook presents tasks that arouse curiosity and promote creative thinking. This relates to the Finnish curriculum that encourages students to present and discuss their own ideas with others. Specific types of mathematical tasks that can support algebraic thinking include: First, the M tasks provide opportunities to comprehensively understand the arithmetic structure or basic mathematical operations in the number systems. Second, the PNC tasks support the understanding of equivalence relationships through a relational understanding of given quantities. They may also support functional thinking through negative numbers or mathematical sequence tasks. Third, the PWC tasks help students to be good at arithmetic calculations by suggesting real-life situations and to improve their understanding of the equivalence relationships. They also support functional thinking by enabling students to find patterns in given quantities. Fourth, the DM tasks support students functional thinking by presenting tasks which require covariational reasoning. This study, focused on the number and operation strand, provided information on tasks that support understanding algebra and investigated the relationships between the characteristics of textbooks and the curriculum. Thus, it is expected that this study will be able to offer some suggestions for number and operation tasks and for curriculum.

교과서는 교육과정의 의도가 교실에서 잘 실현될 수 있도록 하는 수단이다. 이러한 점에서 수학 과제는 학생들의 호기심을 자극하고 참여를 이끌어내는 데 중요한 역할을 한다. 특히 중학교 1학년 학생들이 배우는 수와 연산 영역의 과제는 이후 수학 학습의 바탕이 된다. 학생들이 사칙계산의 숙달에 대한 문제만을 다룬다면 대수 학습에서 어려움을 겪을 수 있으므로 적절한 과제를 구성할 필요가 있다. 그러나 아직까지 우리나라 교과서에 제시되는 수와 연산 과제의 특성을 면밀히 검토한 연구는 드문 실정이다. 한편, 다수의 연구자들은 수학 과제에 대한 시사점을 도출하기 위해 과제의 인지적 노력수준을 Memorization (M), Procedures Without Connections (PNC), Procedures With Connections (PWC), Doing Mathematics (DM)로 나누어 과제를 비교하였다. 선행연구에서는 우리나라 수학 교과서가 낮은 인지적 노력수준의 과제(M, PNC)에 편중되어 있음을 보여주었다. 이에 연구자들은 높은 인지적 노력수준의 과제(PWC, DM)를 학생들에게 제시할 필요가 있다고 하였다. 이러한 논의가 수와 연산 과제에서도 타당한 것인지 살펴보기 위해 본 연구에서도 수학 과제를 비교함으로써 시사점을 도출하고자 하였다. 비교 대상 국가로 인도, 핀란드, 호주를 선정하였으며, 우리나라 교과서 2종, 인도 교과서 1종, 핀란드 교과서 1종, 호주 교과서 1종을 선택하여 2019년 9월부터 2개월 동안 인지적 노력수준을 분석하였다. 또한 수와 연산 영역의 과제가 향후 대수 학습에 미칠 수 있는 영향을 고려하여 수학 과제가 지원할 수 있는 대수적 사고를 비교하였다. 수학 과제의 인지적 노력수준을 비교한 결과 첫째, M 과제의 비율은 다른 나라의 교과서보다 우리나라 교과서에서 가장 높다. 그 이유는 우리나라 교과서에 수학 개념을 확인할 수 있는 빈칸 채우기 문제가 단원별로 제시되기 때문이다. 둘째, 네 국가의 교과서에는 공통적으로 PNC, PWC 과제가 전체에서 80% 이상을 차지하고 있다. 그 이유는 특정한 절차나 알고리즘을 사용하는 산술 과제가 많기 때문이다. 여기서 PWC 과제의 비율은 호주 교과서에서 가장 높다. 이는 얕은 가르침을 염려하여 복잡한 문제해결 과정을 강조하는 호주 교육의 동향을 반영한 것이다. 셋째, DM 과제의 비율은 인도 교과서에서 가장 높다. 이는 인도 교육과정의 영향으로 패턴의 관찰과 일반화를 요구하는 과제가 많기 때문이다. 대수적 사고와 관련하여 네 국가의 교과서는 공통적으로 수 체계의 확장, 연산의 기본성질과 계산 과제를 제시한다. 여기서 우리나라의 경우 비교 국가의 교과서보다 산술 계산을 활용한 문제가 다양하다는 특징이 있으나, 교과서 2종간의 차이는 크지 않다. 주로 교육과정의 성취기준을 준수하여 제작된 산술 계산 문제들이기 때문이다. 호주의 경우 패턴을 대수적으로 설명할 수 있는 고난도 과제를 제시한다는 특징이 있다. 이는 산술의 법칙이나 성질을 대수적 용어나 기호로 확장하고 적용하는 것을 강조한 호주 교육과정의 내용과 관련된 것이다. 인도의 경우 모든 인지적 노력수준에서 연산의 기본성질에 대해 추론할 수 있는 과제를 제시한다. 이는 패턴의 관찰과 일반화를 통한 학습을 강조한 인도 교육과정에 근거한다. 핀란드의 경우 흥미를 유도하고 창의적인 사고를 촉진시킬 수 있는 과제를 제시한다. 이는 사고 과정을 다른 사람에게 표현하는 것을 강조한 핀란드 교육과정에 근거한 활동이라고 볼 수 있다. 대수적 사고를 지원할 수 있는 유형을 좀 더 구체적으로 살펴보면 다음과 같다. 첫째, M 과제는 학습한 수 체계 내에서 산술식의 구조나 원리를 통합적으로 이해할 수 있는 기회를 제공할 수 있다. 둘째, PNC 과제는 주어진 양들을 관계적으로 이해하고 동치관계에 대한 이해를 지원할 수 있다. 또한 음수 계산이나 수열 문제를 통해 함수적 사고를 지원할 수 있다. 셋째, PWC 과제는 실생활 문제를 통해 산술 계산에 능숙해질 수 있고, 동치관계에 대한 이해를 지원할 수 있다. 또한 양 사이의 관계에서 패턴이나 규칙을 찾음으로써 함수적 사고를 지원할 수 있다. 넷째, DM 과제는 공변추론을 활용하여 함수적 사고를 지원할 수 있다. 본 연구는 향후 대수 학습에 대한 이해를 지원할 수 있는 수와 연산 영역의 과제에 대한 정보를 제공하였다. 그리고 교과서 과제의 특징과 교육과정의 관계를 탐색하였다. 따라서 수와 연산 영역의 과제와 교육과정에 대한 시사점을 제공할 수 있을 것으로 기대된다.