High order post-Newtonian computation of Orbits and Gravitational waves of Compact binaries with Spin and Eccentricity

Abstract

Extracting accurate gravitational waveforms quickly is important work both in theory and in observation. Until now post-Newtonian (PN) theory is the unique framework to provide analytic expressions for equations of motion of binaries and corresponding gravitational waveforms. However, it is not trivial to solve the non-integrable PN equations of motion for a long duration. In order to resolve this problem, quasi-Keplerian parametrization with the variation of constants method is widely adopted. In this thesis, we present the derivation of the quasi-Keplerain parametrizations and the efficient algorithm to compute gravitational waveforms for the following three cases. First, we derive fourth order post-Newtonian (4PN) contributions to Keplerian-type parametric solution for describing dynamics of non-spinning compact binaries in eccentric orbits. The underlying compact binary dynamics is described by the 4PN accurate near-zone local-in-time Arnowitt-Deser-Misner (ADM) Hamiltonian. We provide explicit expressions up to 4PN order for various orbital elements and functions of our parametric solution in terms of the conserved orbital energy, angular momentum, and the symmetric mass ratio. The resulting parametric solution is employed to obtain an updated inspiral, merger and ring-down waveform family to model the coalescence of non spinning black hole binaries in moderately eccentric orbits. Second, we derive a fully analytic Keplerian-type parametrization solution to conservative motion of spinning binary in ADM gauge. This solution is able to describe the three-dimensional motion of binaries of arbitrary eccentricity, mass ratio, and initial configuration of spin angular momentum up to the leading order of post-Newtonian(PN) approximation and a linear order in a spin. Based on our results waveforms can be quickly computed with high accuracy. Third, we derive third post-Newtonian (3PN) accurate the keplerian-type parametric solution to describe PN-accurate dynamics of non-spinning compact binaries in hyperbolic orbits. The orbital elements and functions of the parametric solution are obtained in terms of the conserved 3PN accurate conserved orbital energy and angular momentum both in ADM and modified harmonic coordinates. Elegant checks are provided that include a modified analytic continuation prescription to obtain our independent hyperbolic parametric solution from its eccentric version. A prescription to model gravitational-wave polarization states for hyperbolic compact binaries experiencing 3.5PN-accurate orbital motion is presented that employs our 3PN-accurate parametric solution. Finally we discuss the possible ways of improving these results in obtaining waveforms of compact binaries with various initial conditions.

정확한 중력파 파형을 빠르게 추출해내는 일은 이론과 관측 모두에게서 중요하다. 포스트-뉴토니안 (PN) 이론은 쌍성계의 운동과 그로부터 방출되는 중력파의 파형을 계산하는 데에 유일한 해석적 방법론을 제공한다. 그러나 긴 시간의 중력파 파형을 얻기 위해서 적분 가능하지 않는 포스트-뉴토니안 운동방정식을 풀어야하는 것은 자명한 일이 아니다. 이것을 해결하기 위해, 준 케플러 매개화와 상수 변분법이 널리 도입된다. 본고를 통해서, 우리는 다음의 세 가지 경우에 대하여 준 케플러 매개화와 중력파 파형을 계산하는 효율적인 알고리즘을 제공한다. 첫째로, 우리는 자전하지 않는 밀집 쌍성계의 타원 궤도 운동에 대하여, 네번째 섭동 정확도 (4PN)로 준 케플러 매개화를 유도하였다. 이에 바탕이 되는 운동 방정식은, Arnowitt-Deser-Misner (ADM) 좌표계에서 유도된, 시간에 국소적인 4PN 해밀토니안에 의해 기술되었다. 우리는 쌍성계의 타원 궤도를 기술하는 요소들을 에너지, 각운동량 그리고 질량비에 의존하는 명시적인 매개화의 형태로 제공한다. 그 결과, 우리가 구한 해는 적당한 이심율을 가지는 타원 궤도의 쌍성계가 서로 가까워지다가 하나로 충돌하는 전과정을 기술하는데 응용된다. 둘째로, 우리는 ADM 좌표계에서 자전하는 쌍성계의 보존 운동에 대한 완전한 준 케플러 매개화를 제공한다. 이 해는 임의의 이심율, 질량비 그리고 자전 각운동량의 일반적인 구성에 대해, 자전에 의한 효과의 일차 근사하에, 운동을 기술할 수 있다. 우리의 결과에 따라서 중력파 파형은 높은 정확도로 빠르게 계산될 수 있다. 세번째로, 우리는 세번째 섭동 정확도로 자전하지 않는 밀집 쌍성계의 쌍곡선 충돌에 대한 준 케플러 매개화를 유도하였다. 우리는 쌍성계의 쌍곡선 궤도를 기술하는 요소들을 에너지, 각운동량 그리고 질량비에 의존하는 명시적인 매개의 표현을, ADM 좌표계와 harmonic 좌표계에서 제공한다. 우리는 또한 이전에 독립적으로 계산된 타원 궤도의 해를 이용한 검산을 제공한다. 우리의 준 케플러 매개 해를 이용하여 쌍곡선 궤도에서 방출되는 중력파의 파형을 3.5PN 정확도로 계산한다. 그리고 마지막으로 우리의 결과를 개선할 수 있는 방법들에 대해서도 의논한다.