Explicit formulas for e-positivity of chromatic quasisymmetric functions

Abstract

In 1993, Stanley and Stembridge conjectured that a chromatic symmetric function of any (3 + 1)-free poset is e-positive. Guay-Paquet reduced the conjecture to (3 + 1)- and (2 + 2)-free posets which are also called natural unit interval orders. Shareshian and Wachs defined chromatic quasisymmetric functions, generalizing chromatic symmetric functions, and conjectured that a chromatic quasisymmetric function of any natural unit interval order is e-positive and e-unimodal. For a given natural interval order, there is a corresponding partition λ and we denote the chromatic quasisymmetric function by X_(λ). Lee recently introduced local linear relations for chromatic quasisymmetric functions. In this paper, we prove a Rectangular Lemma, which is a vast generalization of Lees relations. For example, when λ is contained in a rectangle such that the width of the rectangle is greater than or equal to the height of the rectangle, one can expand X_(λ) in terms of X_(μ)s where μ is a rectangle, and the lemma states the positive explicit formula for the coefficients of the expansion. Moreover, the similar formula holds for e-positivity of chromatic quasisymmetric functions when λ is contained in a rectangle. We also suggest some conjectures of formulas for e-positivity when λ is not contained in a rectangle.

1993년에 Stanley와 Stembridge는 ``모든 (3+1)-free poset의 채색 대칭 함수는 e-positive이다.''라는 추측을 제시했습니다. Guay-Paquet는 이 추측을 natural unit interval orders 라고 불리는 (3+1)- and (2+2)-free posets으로 영역을 제한시켰습니다. 그 이후, Shareshian과 Wachs는 채색 대칭 함수의 일반화 함수인 채색 준 대칭 함수라는 개념을 도입했고, 추측을 ``모든 natural interval order 의 채색 준 대칭 함수는 e-positive 이고 동시에 e-unimodal이다.''로 바꿨습니다. 어떤 natural interval order가 주어지면 그것에 대응하는 partition λ가 항상 존재하고, 그 것의 채색 준 대칭 함수를 X_(λ)라고 쓰겠습니다. 이승진 교수님께서는 최근에 채색 준 대칭 함수의 부분적인 선형 관계식을 찾았습니다. 이 논문에서는 부분적인 선형 관계식의 일반화 관계식인 Rectangular Lemma를 소개할 것입니다. 예를 들어, λ가 세로보다 가로가 긴 직사각형 안에 들어가 있는 경우, X_(λ)는 X_(μ) (μ는 직사각형 모양)들의 일차 결합으로 쓰여질 수 있습니다. 또한, Rectangular Lemma는 이러한 일차 결합의 계수를 구할 수 있는 구체적인 방법을 조합론적인 방법으로 보여줍니다. 더 나아가, λ가 어떤 직사각형 안에 들어가 있을 때, Rectangular Lemma와 비슷한 공식으로 채색 준 대칭 함수의 e-positivity를 증명하고 동시에 채색 준 대칭 함수의 계수를 정확히 구할 수 있습니다. 마지막으로, λ가 어떤 직사각형 안에 들어가 있지 않은 경우의 공식에 대한 추측도 언급했습니다.