Finite element based virtual fields method for identifying constitutive parameters

Abstract

In this study, a novel virtual fields method (VFM) based on the finite element (FE) scheme, namely FE-VFM, is proposed as an inverse method for identifying the parameters of constitutive models. In the FE-VFM, experimentally measured full-field displacements are mapped onto FE meshes using global and local shape functions, and the internal virtual work is integrated using the Gauss quadrature rule. To validate the new method, a well-designed sensitivity study is conducted using the ideal deformation obtained from FE simulations for anisotropic linear elastic and isotropic plastic materials. In the case of anisotropic elasticity, the residuals of the internal and external virtual work are not significantly affected by the order and size of FE meshes, and the order of the numerical integration has a marginal effect on the quality of the results. Conversely, substantial impacts are obtained for the plastic case, in which the size and order of the FE meshes and the order of the numerical integration are all critical to the accuracy of identification owing to large, localized deformation. As an applications of the FE-VFM, homogeneous and nonhomogeneous strain hardening of the metal sheets were identified. The first application is identifying homogeneous strain hardening of the advanced hardening. Additional to the FE-VFM, the concept of a pseudo-real deformation field is newly proposed as a virtual field, which improves the accuracy of the FE-VFM for optimizing the constitutive parameters of the plastic material. Finally, the inverse identification of the plastic hardening law for press-hardened steel is conducted using the FE-VFM with real experimental data. The results show that the FE-VFM can successfully reproduce the full-field displacements even with relatively low-quality full-field data if an optimum FE mesh is adopted. In addition, the results of the U-notch tensile tests were performed for the validation of the FE-VFM results, and the simulated load–displacement curve of U-notch tests with strain hardening identified by FE-VFM is in good agreement with the experimental results As an advanced application, the FE-VFM was applied for identifying nonhomogeneous strain hardening of the friction stir welded aluminum alloy sheets. In this study, weld affected zone (WAZ) boundary was identified first, then, local flow stresses were identified in the WAZ. In addition, the area of interest was divided into subdomains, and FE-VFM was applied to each subdomain independently, to avoid a uniqueness problem. Also, material constants in each subdomain are interpolated with a quadratic function. To uniquely identify the interpolated material parameters, three independent normal distribution type virtual fields were used. These numerical approaches were validated through feasibility tests based on FE simulation data, then, the validated method was applied to identify the local flow stresses of the friction stir welded AA6061-T6 sheets. The friction stir welding was conducted with two tool rotation speed conditions, 1200 and 1600 RPM. FE-VFM could successfully identify the boundary of the WAZ and distributions of the strain hardening parameters in the WAZ. Also, tensile tests were conducted for the validation of the identified non-homogeneous strain hardening parameters, and the predictions using FE-VFM results were in good agreement with experiments.

본 연구에서는 구성방정식 변수 역해석 최적화를 위한 새로운 유한요소 기반 가상필즈법 (Finite element-based virtual fields method, FE-VFM) 을 제안하였다. FE-VFM에서는 전 영역 측정법(Full-field measurement)을 통해 측정된 실험 변위를 전역 및 형상 함수 (global and local shape function) 를 이용해 유한요소 메시로 재구축한다. 구성방정식 변수 최적화 과정에서는 유한요소에 맵핑된 변위를 기반으로 가상일의 원리 (Principle of virtual work) 수식을 풀이하는데, 이때 FE-VFM은 내부 가상일 (Internal virtual work)을 적분 시 가우스 구적법을 활용한다. 새롭게 제안한 FE-VFM을 검증하기 위하여, 잘 디자인된 민감도 분석 연구가 진행되었다. 민감도 분석 연구에는 유한요소해석으로 생성된 이상적인 변형 정보가 FE-VFM의 입력 정보로 활용되었으며, 민감도 분석은 비등방 선형 탄성 재료와 등방 탄소성 재료 두 가지에 대해 수행하였다. 민감도 분석 조건으로 변위장 재구축을 위한 유한요소의 크기 및 차수, 그리고 가우스 구적법의 차수에 대한 민감도 분석을 수행행하였다. 정량적인 분석을 위해 내부 가상일과 외부 가상일의 잔차를 계산하여 각 조건을 평가하였다. 이방성 선형 탄성 소재 조건의 경우, 가상일 잔차가 유한요소의 크기 및 차수에 크게 영향을 받지 아니하였으며, 가우스 구적법 차수 많이 제한적인 범위에서 약간의 정확도를 향상시켰다. 반면, 소성 물성의 경우, 유한요소의 크기, 차수, 그리고 가우스 구적법 차수 모두 결과에 크게 영향을 주었다. 이러한 차이는 선형 탄성의 경우 변형의 비선형성이 작은 반면, 탄소성 소재의 경우 국부적이고 비선형성이 큰 변형이 발생에 기인한 것으로 보인다. 한편, FE-VFM의 응용으로서 금속 판재의 균질, 그리고 비균질한 소성 경화 거동 측정이 수행되었다. 첫번째 응용으로서 고강도강의 소성 경화 거동을 측정하였다. 이 응용 연구에서는 FE-VFM의 소성 물성 측정 정밀도를 높이기 위하여 실제 변위에 기반한 의사 실제 변형장(Pesudo-real deformation field, PDF)을 새로운 형태의 가상변위로 제안하였다. 이후 응용으로서 PDF와 FE-VFM을 함께 활용하여 프레스 경화 강(press hardened steel)의 소성 경화 거동을 측정하였다. FE-VFM 적용을 위해서는 노치 인장실험 (notched tensile tests)이 수행되었다. 그 결과 요소 크기가 크고 고차 요소로 이루어진 유한요소메시를 활용 시, 비교적 낮은 품질의 전영역 측정 결과를 활용하여도 성공적으로 변위 장을 모사할 수 있음을 확인하였다. 나아가, 이러한 FE-VFM의 효과로 인해 프레스 경화강의 소성 경화 거동이 성공적으로 측정될 수 있음을 확인하였다. 측정된 결과를 검층하기 위해, U 노치 인장 실험(U notched tensile tests)을 수행하였다. 실험 결과와 유한 요소해석 결과를 비교하였을 때, FE-VFM으로 측정된 물성을 유한요소해석 결과가 일반적인 표준 일축 실험을 기반으로 한 것 보다 하중-변위 곡선이 실험과 더 잘 일치함을 확인하였다. 이는 크게 두 가지 이유에 기인한다. 첫째, 일축인장 실험 으로 항복강도를 결정할 때 사용 사용하는 0.2% 오프셋 방법은 매우 큰 강도의 프레스 경화 강의 항복점 근처의 탄성에서 소성으로의 비선형적인 변화 거동을 무시하게 되는 반면, FE-VFM의 경우 임의이 항복강도 결정 기준을 사용하지 않고, 비용 함수(cost function) 값을 비선형적으로 최적화하는 과정에서 탄성한계점이 항복강도로 결정된다. 그러므로 U 노치 인장 결과에서 초반 하중-변위 거동이 FE-VFM을 통해 계산된 유한요소해석 결과가 더 잘 맞게된다. 둘째, 일반적인 일축 인장에서 UTS 이후에는 넥킹(necking) 현상이 일어나므로, UTS 전 까지의 실험 데이터를 활용하여 소성 경화식을 최적화 하고 그 이후는 외삽으로 예측하게 된다. 그러나 연구된 프레스 경화 강은 균일 연신율이 5% 내외로 짧아, UTS 이후 큰 변형율에서의 실험 정보가 부족하다. 반면 FE-VFM의 경우 일축인장에서는 쓸 수 없었던 균일 연신율 이후의 응력-변위 정보도 사용하여 소성 경화식을 최적화 할 수 있으며, 따라서 U 노치 실험의 하중-변위 곡선이 최대값 이후에서 FE-VFM 결과를 기반으로 한 예측 결과가 일축인장보다 더 잘 맞을 수 있었다. 또한, 고등 응용으로서 마찰 교반 용접(Firction stir welding, FSW)된 알루미늄 판재의 비균질 소성 경화거동을 FE-VFM을 활용하여 측정하였다. 이 연구에서는 먼저 용접영향부(weld affected zone, WAZ) 경계를 확인한 뒤, 확인된 용접영향부 내의 국부 물성 분포를 측정하는 2단계 측정 방법이 활용되었다. 관심영역을 하위도메인으로 구분하는 접근법과 구성방정식 변수를 각 하위도메인 안에서 이차 함수로 보간하는 기법이 함께 사용되었다. 이러한 비선형성이 심한 문제를 적절히 풀기 위하여, 가상 필즈를 하위도메인 내의 서로 다른 위치의 정보를 강화 할 수 있는 정규 분포 함수로 정의하였다. 이러한 FE-VFM 기반 방법론을 유한요소해석 데이터 기반으로 실현가능성을 평가 및 검증하였다. 실현 가능성 검증에서 일반적인 다항식 함수로 정의된 가상 필즈를 사용할 경우 구성방정식 상수 분포가 유니크니스 문제(uniqueness problem)으로 인해 특정 값으로 제대로 결정되지 않음을 확인하였다. 그리고 구성방정식 상수 보간 및 정규 분포 함수로 정의된 가상 필즈의 높은 비선형성으로 인해 고차 가우스 구적 사용이 필수임을 확인하였다. 검증된 방법론을 적용한 결과, 마찰교반용접 된 AA6061-T6 판재 물성을 적절히 평가할 수 있었다. 그 결과 1200 및 1600 RPM 각각 용접 영향부가 -9 mm 부터 12 mm, 그리고 9 mm 부터 12 mm로 확인되었다. 또한, 용접 영향부 내의 알루미늄 합금은 강도는 전반적으로 약해진 반면, 연성은 모재 대비 증가한 것을 확인할 수 있었다. 마지막으로 검증 실험을 진행하여, FE-VFM으로 도출된 물성을 활용한 유한요소해석 결과와 실험값을 비교하였다. 그 결과 실험과 유한요소해석으로 예측된 결과가 잘 일치함을 확인하였다. 이를 통하여 FE-VFM을 통해 마찰 교반 용접된 알루미늄 합금의 비균질 경화 거동을 정확히 측정할 수 있음을 확인하였다. 결론적으로, 두 가지 응용 연구는 FE-VFM으로 통상의 방법으로 얻기 어렵거나 번거로운 재료의 기계적 물성을 효과적이고 정확하게 얻을 수 있음을 보여주었다.