Diophantine Approximation, Continued Fractions, and Dynamical Spectrums

Abstract

Diophantine approximation is a rational approximation to an irrational number, which has been investigated using continued fractions. In the thesis, we deal with three topics related to Diophantine approximation and continued fractions.

The first topic is the Markoff and Lagrange spectrum associated with the Hecke group. The classical Markoff and Lagrange spectrum is associated with the modular group PSL(2,$\mathbb Z$)=H_3, which has been studied using the regular continued fraction. We consider the Markoff and Lagrange spectrum associated with H_4 and H_6. We use the Romik dynamical system to show that some results on the classical Markoff and Lagrange spectra appear in the Markoff and Lagrange spectra associated with the Hecke group.

The second topic is the exponents of repetition of Sturmian words. The exponent of repetition of a Sturmian word gives the irrationality exponent of the Sturmian number associated with the Sturmian word. For an irrational number $\theta$, we determine the minimum of the exponents of repetition of Sturmian words of slope $\theta$. We also investigate the spectrum of the exponents of repetition of Sturmian words of the golden ratio.

The last topic is quasi-Sturmian colorings on regular trees. We characterize quasi-Sturmian colorings of regular trees by its quotient graph and its recurrence function. We obtain an induction algorithm of quasi-Sturmian colorings which is analogous to the continued fraction algorithm of Sturmian words.

디오판틴 근사는 무리수의 유리수 근사를 뜻하는데 연분수를 사용하여 연구되어 왔습니다. 이 논문에서는 디오판틴 근사와 연분수에 관련된 세 가지 주제를 다루고 있습니다.

첫 번째 주제는 헤케군에 관련된 마르코프와 라그랑지 스펙트럼입니다. 고전적인 마르코프와 라그랑지 스펙트럼은 모듈러군 PSL(2,$\mathbb Z$)=H_3와 관련이 있는데, 단순연분수를 사용하여 연구되어 왔습니다. 우리는 H_4 와 H_6에 관련된 마르코프와 라그랑지 스펙트럼을 다룹니다. 우리는 로믹 동역학을 이용하여 고전적인 마르코프와 라그랑지 스펙트럼에서 발견된 결과가 헤케군에 관련된 마르코프와 라그랑지 스펙트럼에서도 나타남을 보입니다.

두 번째 주제는 스터미안 단어의 반복지수입니다. 스터미안 단어의 반복지수는 그 스터미안 단어와 연관된 스터미안 수의 비합리성 지수를 줍니다. 주어진 무리수 $\theta$에 대해, 우리는 기울기가 $\theta$인 스터미안 단어의 반복지수 중 최소값을 밝힙니다. 또한 우리는 황금비를 기울기로 갖는 스터미안 단어의 반복지수들의 스펙트럼을 연구합니다.

마지막 주제는 정규나무 위에서의 준-스터미안 채색입니다. 우리는 정규나무의 준-스터미안 채색을 이것의 몫 그래프와 회귀함수로 구분짓습니다. 우리는 스터미안 단어의 연분수 알고리즘과 유사한 준-스터미안 채색의 귀납적 알고리즘을 밝힙니다.