Finite-time blow-up to hyperbolic Keller-Segel system of consumption type with logarithmic sensitivity

Abstract

This paper deals with a hyperbolic Keller-Segel system of consumption type with the logarithmic sensitivity ∂tρ = −χ∇ · (ρ∇log c) , ∂tc = −μcρ (χ, μ > 0) in Rd (d ≥ 1) for nonvanishing initial data. This system is closely related to tumor angiogenesis, an important example of chemotaxis.We firstly show the local existence of smooth solutions corresponding to nonvanishing smooth initial data. Next, through Riemann invariants, we present some sufficient conditions of this initial data for finite-time singularity formation when d = 1. We then prove that for any d ≥ 1, some nonvanishing C∞-data can become singular in finite time. Moreover, we derive detailed information about the behaviors of solutions when the singularity occurs. In particular, this information tells that singularity formation from some initial data is not because c touches zero (which makes log c diverge) but due to the blowup of C1×C2- norm of (ρ, c). As a corollary, we also construct initial data near any constant equilibrium state which blows up in finite time for any d ≥ 1. Our results are the extension of finite-time blow-up results in [9], where initial data is required to satisfy some vanishing conditions. Furthermore, we interpret our results in a way that some kinds of damping or dissipation of ρ are necessarily required to ensure the global existence of smooth solutions even though initial data are small perturbations around constant equilibrium states.

이 논문은 Rd (d ≥ 1)에서 다음과 같은 로그 민감로를 갖는 쌍곡 Keller-Segel 소비 유형 시스템에 대해 다룬다. ∂tρ = −χ∇ · (ρ∇log c) , ∂tc = −μcρ (χ, μ > 0) 우리는 먼저 영이 아닌 매끄러운 초기 데이터에 해당하는 매끄러운 해의 국 소적 존재성을 보인다. 다음으로 리만 불변량을 통해 d = 1 일 때 유한 시간 특이점 형성을 위한 초기 데이터의 몇 가지 조건을 제시한다. 그런 다음 모든 d ≥ 1에 대해 일부 영이 아닌 C∞ 데이터가 유한한 시간 내에 폭발할 수 있음을 증명한다. 따름정리로, 우리는 모든 d ≥ 1에 대해 유한한 시간 내에 폭발하는 모든 상수 평형 상태 근처에 초기 데이터를 건설한다.