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Homological Mirror Symmetry and Geometry of Degenerate Cusp Singularities : 퇴화첨단특이점의 호몰로지거울대칭과 기하학
DC Field | Value | Language |
---|---|---|
dc.contributor.advisor | 조철현 | - |
dc.contributor.author | 노경민 | - |
dc.date.accessioned | 2023-11-20T04:49:30Z | - |
dc.date.available | 2023-11-20T04:49:30Z | - |
dc.date.issued | 2023 | - |
dc.identifier.other | 000000178308 | - |
dc.identifier.uri | https://hdl.handle.net/10371/197302 | - |
dc.identifier.uri | https://dcollection.snu.ac.kr/common/orgView/000000178308 | ko_KR |
dc.description | 학위논문(박사) -- 서울대학교대학원 : 자연과학대학 수리과학부, 2023. 8. 조철현. | - |
dc.description.abstract | Under homological mirror symmetry, we establish an explicit correspondence of Lagrangians in pair-of-pants surface (A-model) and Cohen-Macaulay modules over the degenerate cusp singularity defined by xyz=0 (B-model).
In A-model, we show that Cho-Hong-Lau's localized mirror functor is stable under homotopy of Lagrangians. It motivates us to introduce loop/arc data to parameterize Lagrangians equipped with a holonomy. Their mirror images under the mirror functor provide the canonical form of matrix factorizations of xyz. In B-model, we review Burban-Drozd's representation of Cohen-Macaulay modules, whose indecomposable isomorphism classes are classified and parameterized by band/string data. We introduce a combinatorial method to compute their corresponding matrix factorizations of xyz. It turns out that there is a conversion formula between loop/arc data and band/string data, which translates Burban-Drozd's classification result of Cohen-Macaulay modules into the language of matrix factorizations, presenting their explicit canonical form. It realizes a one-to-one correspondence between indecomposable isomorphism classes of Lagrangians and Cohen-Macaulay modules. As a consequence, we find their relation with geodesics in hyperbolic pair-of-pants. For a geometric understanding of Cohen-Macaulay modules over degenerate cusp singularities, we develop a new geometric notion called degenerate vector bundles over those singularities. It naturally induces Cohen-Macaulay modules from Burban-Drozd's representation, providing the concrete geometry underlying our computation. | - |
dc.description.abstract | 이 학위논문에서는 호몰로지 거울대칭 하에서 바지 곡면(pair-of-pants surface)의 Lagrangian(A-모델)과, xyz=0으로 정의되는 퇴화첨단특이점(degenerate cusp singularity) 위의 Cohen-Macaulay 모듈(B-모델)의 대응 관계를 밝힌다.
먼저 A-모델에서 Cho-Hong-Lau의 지역화된 거울함자(localized mirror functor)가 Lagrangian의 호모토피 하에서 안정적(stable)이라는 것을 보인다. 이로부터 루프/아크 데이터를 정의하여 홀로노미가 부여된 Lagrangian들을 매개화한다. 지역화된 거울 함자 하에서 이들의 거울대칭 상은 xyz의 행렬 인수분해의 표준형을 제공한다. 한편 B-모델에서는 Cohen-Macaulay 모듈의 표현에 대한 Burban-Drozd의 이론을 복습한다. 여기서 이들의 분해불가능한 동형 클래스들은 밴드/스트링 데이터로 분류 및 매개화된다. 우리는 조합론적인 방법론을 도입하여 이들에 대응하는 xyz의 행렬 인수분해를 계산한다. 루프/아크 데이터와 밴드/스트링 사이에는 변환 공식이 있음이 밝혀지는데, 이는 Cohen-Macaulay 모듈에 대한 Burban-Drozd의 분류 결과를 행렬 인수분해의 언어로 바꾸며 명시적인 표준형을 제시한다. 이것은 또한 Lagrangian과 Cohen-Macaulay 모듈의 분해불가능한 동형 클래스들 간의 일대일 대응을 구체화한다. 결과적으로 이들이 하이퍼볼릭 바지 곡면의 측지선들과 연관되어있음을 보인다. 퇴화첨단특이점 위의 Cohen-Macaulay 모듈의 기하학적인 이해를 위해, 특이점 위의 퇴화벡터다발(degenerate vector bundle)이라는 새로운 기하학적 개념을 도입한다. 이것은 Burban-Drozd의 표현으로부터 Cohen-Macaulay 모듈을 자연스럽게 유도하며, 우리의 계산의 기저에 있는 기하학을 제시한다. | - |
dc.description.tableofcontents | 1. Introduction 2
2. Wrapped Fukaya Category of Pair-of-Pants Surface 17 2.1. Fukaya Category and Localized Mirror Functor 17 2.2. Finiteness and Homotopy Invariance 23 2.3. Loop Data and Arc Data 36 2.4. Matrix Factorizations from Lagrangians: Loop-Type and Arc-Type 41 3. Representation of Cohen-Macaulay Modules over Singularity xyz=0 43 3.1. Cohen-Macaulay Modules and Eisenbud's Matrix Factorization Theorem 43 3.2. Burban-Drozd Triple Category 47 3.3. Generator diagram and Macaulayfication 52 3.4. Band Data and String Data 58 3.5. Conversion Formula between Loop/Arc Data and Band/String Data 61 3.6. Matrix Factorizations from Cohen-Macaulay Modules: Band-Type and String-Type 67 4. Mirror Symmetry Correspondence between Modules and Lagrangians 95 4.1. Loop/Arc-Type Lagrangians <-> Band/String-Type Cohen-Macaulay Modules 95 4.2. Applications 103 5. Degenerate Vector Bundles over Degenerate Cusp Singularities 104 5.1. Burban-Drozd Triples and Decorated Quiver Representations 104 5.2. Geometry of X=Spec(A) 107 5.3. Degenerate Vector Bundles 108 5.4. Global Sections 115 5.5. Equivalence of Categories 119 | - |
dc.format.extent | iv, 126 | - |
dc.language.iso | eng | - |
dc.publisher | 서울대학교 대학원 | - |
dc.subject | homological mirror symmetry | - |
dc.subject | degenerate cusp singularity | - |
dc.subject | Lagrangian submanifold | - |
dc.subject | matrix factorization | - |
dc.subject | Cohen-Macaulay module | - |
dc.subject | degenerate vector bundle | - |
dc.subject.ddc | 510 | - |
dc.title | Homological Mirror Symmetry and Geometry of Degenerate Cusp Singularities | - |
dc.title.alternative | 퇴화첨단특이점의 호몰로지거울대칭과 기하학 | - |
dc.type | Thesis | - |
dc.type | Dissertation | - |
dc.contributor.AlternativeAuthor | Kyungmin Rho | - |
dc.contributor.department | 자연과학대학 수리과학부 | - |
dc.description.degree | 박사 | - |
dc.date.awarded | 2023-08 | - |
dc.identifier.uci | I804:11032-000000178308 | - |
dc.identifier.holdings | 000000000050▲000000000058▲000000178308▲ | - |
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