Super duality for quantum affine superalgebras of type A

Abstract

We propose a new approach to the study of representations of quantum affine (su-per)algebras, motivated from super duality. Namely, we study a category of interest by finding its bosonic or fermionic counterpart, and then construct supersymmetric analogues and functors to interpolate bosons and fermions. A key role is played by R-matrices and their spectral decompositions, which enables a uniform treatment for super and non-super cases. In this thesis, we consider two module categories of quantum affine (super)algebras of type A. First, the category of polynomial representations is studied, where a uniform approach is possible thanks to the powerful Schur–Weyl-type duality. We construct a functor that directly relates the category for quantum affine algebras to the one for superalgebras, and lift it to an equivalence between inverse limits of categories. Second, we introduce a category of infinite-dimensional representations called q-oscillator representations, whose irreducible objects naturally correspond to finite-dimensional irreducible representations. Since the former can be seen as a bosonic counterpart of the latter, we explain the correspondence by introducing an analogous category for quantum affine superalgebras. In the spirit of super duality, the connection provided by the super analogue is expected to give rise to an equivalence of categories.

본 학위논문은 양자 아핀 (초)대수의 표현론에 관한 초 쌍대성에 기반을 둔 새로운 접근을 제시한다. 구체적으로는, 주어진 범주를 분석하기 위하여 우선 보손 혹은 페르미온 짝을 찾고, 그 초대칭 유사체를 구성하여 보손 측과 페르미온 측을 이어주는 함자를 찾는 방법이다. 이때 주요한 역할을 하는 것이 R-행렬과 그 스펙트럴 분해로, 이를 통해 각각의 경우를 기존의 잘 알려진 유한차원 표현론과 유사한 방식으로 분석할 수 있다. 본 학위논문에서는 A형 양자 아핀 (초)대수의 두 가지 모듈 범주를 고려하고자 한다. 첫째로 다루어지는 것은 다항식 표현들의 범주로, 이 경우에는 유용한 슈어–바일 류의 쌍대성을 이용하여 특히 통일적인 분석이 가능하였다. 양자 아핀 초대수에 대한 범주와 기존의 양자 아핀 대수에 대한 범주를 직접적으로 연결하는 함자를 건설하였고, 이로부터 범주들의 역극한 사이의 범주 동치를 얻게 된다. 둘째로, q-진동자 표현이라 불리는 무한차원 표현들의 범주를 도입하였고, 유한차원 기약 표현들과 자연스럽게 대응되는 기약 q-진동자 표현들을 찾았다. q-진동자 표현들은 유한차원 표현들의 보손 짝으로 볼 수 있기 때문에 양자 아핀 초대수에 대한 유사한 모듈 범주를 도입함으로써 이 대응을 설명할 수 있었으며, 이러한 초대칭 유사체를 통한 q-진동자와 유한차원 표현들 사이의 연결은 초 쌍대성의 철학에 의해 범주들의 동치로 이어질 것으로 예상된다.