금융 시계열의 멀티프랙탈 특성 실증 분석과 멀티프랙탈 Value-at-Risk 모형

Abstract

금융 시계열에는 전통적인 모형으로 설명하기 어려운 다양한 통계적 현상들이 존재한다. 수익률 확률분포에는 두꺼운 꼬리형태와 비대칭성이 관찰된다. 변동성의 이분산성 (heteroskedasticity)과 군집 (clustering) 현상, 장기기억 (long memory) 현상 등도 실제 금융 시계열에서 나타난다. 본 연구의 대상인 멀티프랙탈 (multifractal) 특성도 이러한 특성들 중 하나이다.

최근에 금융 시장과 자산 구조가 점차 복잡해짐에 따라 이와 같은 실제 시장과 이론적 모형의 괴리를 바로잡으려는 노력이 지속되고 있다. 실제 시장에서 프랙탈 구조를 파악함으로써 시계열의 복잡성을 분석하는 연구들도 이와 같은 맥락이다. 본 연구에서는 실제 금융 시장에서 나타나는 멀티프랙탈 특성을 파악하고, 이를 적용하여 보다 현실적으로 금융 위험을 측정하는 모형을 제시했다.

1990년부터 2012년까지의 한국과 미국의 주식 시장(KOSPI와 S&P500)과 원달러 환율 시장에서 멀티프랙탈 특성을 분석했다. 실제 금융 자료에서 멀티프랙탈 특성은 일정한 값을 유지하지 않고, 시간에 따라 존재와 부재를 반복하며 변동하는 모습을 보였다.

멀티프랙탈 시계열과 단일프랙탈 시계열에서는 서로 다른 통계적 특성이 나타나기 때문에 실제 자료에서 멀티프랙탈 특성이 존재하는 구간을 구분할 필요가 있다. 본 연구에서는 이를 위한 멀티프랙탈 검정 방법과 구간 판별 모형을 제시했다. 이를 실증 자료에 적용한 결과, KOSPI와 S&P500 시장에서는 6개의 멀티프랙탈 구간이, 외환 시장에서는 4개의 구간이 각각 판별되었다. 멀티프랙탈 구간들은 공통적으로 확률분포의 높은 첨도와 두꺼운 꼬리형태를 보였다.

이어서 본 연구에서는 시계열의 멀티프랙탈 특성과 확률분포의 꼬리형태, 변동성의 자기상관성 사이의 상관관계를 분석했다. 그 결과 금융 시장에서 관찰되는 멀티프랙탈 특성은 확률분포의 꼬리형태 요소와 변동성의 비선형 자기상관성 요소에 영향을 받음을 입증했다. 이 중에서도 한국 시장에서는 전자가 주도적인 영향력을 보였다. 반면, 변동성의 선형 자기상관성은 멀티프랙탈 특성과 무관했다.

마지막으로 본 연구에서는 멀티프랙탈 특성을 반영하여 VaR (value-at-risk)를 측정하는 모형을 제시했다. 멀티프랙탈 특성을 반영하여 VaR를 측정하는 기존의 연구들은 대부분 시뮬레이션 방법에 치중한 반면, 본 연구는 시뮬레이션 에러가 없는 모수적 (parametric) 방법을 제시한 점에서 의미가 있다. 시뮬레이션 분석과 실증 분석 결과, 본 연구의 멀티프랙탈 VaR 모형은 기존의 벤치마크 모형들보다 안정적이고 정확한 추정 결과를 도출했다. 그리고 신뢰 수준이 낮을수록 우수한 예측 성과를 기록했다. 이는 멀티프랙탈 VaR 모형이 극단적인 위험을 예측하는 경우에 높은 성능을 지님을 의미한다.