Isogeometric configuration design sensitivity analysis and optimization of structures using boundary integral equation

Abstract

본 논문에서는 경계적분방정식을 이용한 아이소-지오메트릭 배치 설계민감도가 유도되었고, 이 방법론은 오리엔테이션 효과와 고차원의 기하 정보를 고려하여 기존 유한 요소 기반 기법에 비해 설계민감도의 정확성을 개선시켰다. 그리고 위상 변화를 가능하게 하는 조정점에 의한 진전 방정식을 이용한 아이소-지오메트릭 배치 최적화 기법이 개발되었다. 이와 더불어 설계매개화가 필요하지 않았고, 정확한 오리엔테이션 설계 속도장이 점별로 구해졌다. 아이소-지오메트릭 방법론은 NURBS 기저함수를 해석에 그대로 이용한다는 편리성에서 기존 유한요소기반 방법론에 비해 많은 수치적 장점을 가지고 있다. 하지만 CAE와 CAD를 완벽하게 연결시켜주지는 못하며 이에 때때로 영역기반 해석에 부적합한 모델을 생성하기도 한다. 이를 위한 대안으로 본 논문에서는 CAD에 친화적이고 아이소-지오메트릭 개념에도 적합한 경계적분방정식 방법론이 사용되었다. 경계적분 방정식을 이용한 설계민감도를 구할 때에는 설계 변경에 따른 오리엔테이션 효과를 고려하는 것이 필수적인데 이것은 수치예제를 통해 그 효과 자체가 작지 않음이 확인되었다. 결과적으로는 배치설계민감도를 고려하는 것과 동시에 아이소-지오메트릭 방법론을 이용하는 것이 기존의 유한요소기법 기반 형상 설계민감도에 비해 각각 더 설계민감도 정확성을 개선시킬 수 있음이 확인되었다. 일반 아이소-지오메트릭 방법론에서는 텐서곱 특성으로 인해 위상 변화를 나타내기 힘들다. NURBS 기저 함수를 이용한 레벨셋 방법론이나 위상-필드 모델에 단순 결합하는 것에서 위상 변화를 기대할 수 있겠으나 NURBS로 표현되는 정확한 경계를 직접적으로 이용할 수 없다는 단점이 있다. 이에 본 논문에서는 고정된 격자에서 위상변화를 표현하는 레벨셋의 특징을 이용하여 조정점의 변화로 표현되는 진전 방정식을 이용한 아이소-지오메트릭 최적화 방법론이 개발되었다. 그리고 이것은 결과적으로는 아이소-지오메트릭 프레임웍 내에서의 위상변화 가능성을 보여주는 것이라 할 수 있다. 수치예제를 통해서 고정된 격자 위에서의 아이소-지오메트릭 배치 설계민감도와 이를 이용한 진전방정식 기반 아이소-지오메트릭 배치 최적기법의 적절함이 검증되었다.

In the thesis, two main topics are investigated. First, isogeometric configuration design sensitivity analysis (DSA) using boundary integral equation (BIE) is derived. This developed method shows improvement of the design sensitivity accuracy compared to conventional BIE shape DSA by considering orientation effect and also exact high order geometric information. Second, evolution-based isogeometric configuration optimization method is developed, which updates the evolution equation with respect to control point that enables the topological variation. Furthermore, no parameterization is needed and point-wise exact orientation velocity fields are obtained. The isogeometric method is an emerging method that has numerous advantages over the classical finite element method due to its convenience of basis functions generated from NURBS (Non Uniform Rational B-Spline). However, isogeometric analysis is not always able to bridge the gap perfectly between computer aided engineering (CAE) and computer aided design (CAD). This is because the CAD system focuses on geometric representation only and it sometimes gives incompatible isogeometric analysis model which has a non-water tight, trimmed surface. In order to overcome these difficulties, boundary integral equation method is adopted, which is more suitable in isogeometric concept and CAD friendly. In deriving design sensitivity equation in boundary integral equation, the consideration of orientation effect is essential according to the variation of design. The contribution of orientation changes in design sensitivity analysis is verified and its portion is absolutely not negligible. Consequently it shows that by considering the configuration design sensitivity, accuracy of the design sensitivity analysis is improved compared to the conventional BIE shape DSA. Also, using isogeometric approach, higher order geometric information is exactly preserved in BIE design sensitivity analysis yielding better accuracy than the finite element approach. In conventional isogeometric approach, it is not easy to represent topological changes due to the tensor product nature. A simple application of NURBS basis function to level set method or phase field model could lead to topological variation but it does not use exact boundary from NURBS. By using the ability of level sets to express topological variation on fixed grids, an evolution equation, which is updated via control point changes, based isogeometric optimization is proposed. It shows feasibility of topological changes in isogeometric framework. In this research, isogeometric configuration DSA on fixed grids is developed and verified through numerical examples. Furthermore, by extending this to optimization, where the evolution equation is updated with respect to control point variations, the feasibility of topological variation in isogeometric approach is shown.