Parameterized reduced order models for nonlinear finite element systems based on stiffness evaluation method

Abstract

기하 비선형 및 재료 비선형 거동을 고려한 구조 해석에서 최종 변형을 도출하기 위해서는, 내력 벡터와 강성 행렬을 반복적으로 도출하며 변형을 갱신해 나아가는 과정을 거쳐야 한다. 이는 비선형성을 고려한 정적 및 동적 해석에 있어서 계산 시간이 급증하는 까닭이다. 따라서 효과적인 해석을 위하여 다양한 축소 모델 기법들이 제안되어 왔지만 그 효율성이 높지 않다. 보통의 축소 기법은 각각 시스템 행렬의 크기를 줄이고, 줄어든 크기의 시스템 행렬을 통해 효율적으로 응답을 도출할 수 있도록 한다. 즉, 축소 기법을 적용하기 위해서는 시스템 행렬을 미리 구축해야 하는 것이다. 비선형 해석의 경우 변형에 따라 시스템 행렬의 구축을 반복해야 하며, 이에 소요되는 시간이 상당하다. 그러나 기존의 축소 기법은 시스템 응답 도출과 관련된 효율성만 높이며, 행렬 구축에 소요되는 시간은 그대로 남는다. 등가 강성 행렬 기법(Stiffness Evaluation)을 활용하면 비선형 시스템 행렬 구축의 효율성을 높일 수 있다. 해당 기법은 비선형 시스템의 내력 벡터를 다항함수를 활용한 등가 모델로 나타낸다. 일단 해당 다항함수의 계수들을 도출해 놓으면, 변형의 갱신을 즉각적으로 고려하여 내력 벡터와 강성 행렬을 계산할 수 있으므로 행렬 구축에 소요되는 시간을 크게 줄일 수 있다. 문제는 등가 모델 구축에 소요되는 시간이 시스템 크기의 3승에 비례하여 늘어나기 때문에, 효율적이지 않다는 것이다. 본 연구에서는 유한 요소의 연결성을 고려하여 개선한 새로운 등가 강성 행렬 기법(SEEC

Stiffness Evaluation based on Element Connectivity)을 제안한다. 유한 요소의 연결성을 이용하면, 다항함수의 구성 및 해당 계수들의 도출을 국부적 및 병렬적으로 진행할 수 있다. 적합직교분해법(POD

Proper Orthogonal Decomposition)을 활용한 축소 모델 또한 연동되어 효율성을 높인다. 등가 강성 행렬 기법의 계수들을 요소 연결성을 고려하여 효과적으로 산출한 뒤, 축소 기법을 연동하면 정확도 및 효율성을 동시에 확보할 수 있다. 이 제안 기법을 SEECROM으로 칭한다. SEECROM은 각 유한 요소의 특성을 활용하여 국부적으로 구성된다는 특성을 갖기 때문에, 파라메트릭 기법의 적용이 용이한 장점도 갖는다. 제안 기법의 효율 및 정확성은 기하 비선형성을 가지는 쉘 구조물의 동적 해석과 초탄성 재료를 가지는 비선형 구조의 정적/동적 해석에 적용하여 검증하였다. 제안 기법은 유연 다물체 동역학에도 적용할 수 있다. 보통의 유연 다물체 동역학은 상대 절점 좌표계를 활용하여 해석하며, 그 경우 시스템 행렬의 비선형성이 강성 행렬이 아닌 질량 행렬에 나타난다. 관성력과 관련하여 추가되는 행렬도 고려하여야 하기 때문에, 동적 구조 해석을 기반으로 개발된 축소 기법을 유연 다물체 동역학 문제에 그대로 활용하기에는 어려움이 있다. 절대 절점 좌표계를 기반으로 하는 ANCF(Absolute Nodal Coordinate Formulation) 기법의 경우, 유한 요소 기법을 적용한 지배 방정식이 비선형 동적 구조 해석 모델과 유사한 형식을 갖는다. 따라서 ANCF 기법을 활용하면 구조 해석을 기반으로 개발된 SEECROM을 유연 다물체 동역학에 적용할 수 있다. 제안 기법과 파라메트릭 기법을 4절 기구를 포함한 주요한 유연 다물체 동역학 예제들에 적용하고 그 효율성과 정확성을 검증할 수 있었다. 파라메트릭 기법이 적용된 SEECROM은 비선형 시스템 구조의 최적 설계 문제에도 적용이 용이하다. 현재 비선형 시스템의 축소 기법에 대한 연구가 진행 중인 단계라, 이를 최적 설계 문제에 적용하는 연구는 아직 활발하지 않은 분야이다. SEECROM은 다양한 종류의 비선형 시스템을 효율적으로 축소하며, 파라메트릭 기법의 적용 또한 유용하기에 앞으로 다양한 최적 설계 문제를 효과적으로 다룰 수 있을 것이라 예상된다. 본 연구에서는 비선형 재료 거동을 갖는 구조 시스템과 4절 기구의 유연 다물체 동역학 시스템의 구조 설계 문제를 예제로 들어 제안 기법의 효과를 검증하였다. 제안 기법은 요소 및 절점을 기반으로 수행되는 다양한 비선형 문제에 적용이 가능할 것이다. 비선형성을 가지는 대형 시스템, 다물리 연성 시스템, 상용 프로그램을 활용한 효율적인 해석 및 설계로의 확장이 기대된다.

To solve material/geometric nonlinear structural systems, iterative evaluation of internal forces and tangent stiffness matrices is required. This increases the computation time for nonlinear static/dynamic analysis. Although various reduced-order modeling techniques have been proposed to effectively solve nonlinear structural analysis problems, problems arise in the reduction of the system matrices. Since most reduction methods only reduce the system matrix after the stiffness and mass matrix construction process, the construction itself proceeds in full domain. In most cases of nonlinear analysis, the construction of system matrix takes a large amount of computation time, comparable to the computation time of the solving process. Although this problem can be tackled with STiffness Evaluation Procedure (STEP), which uses polynomial formulations to describe nonlinear internal forces, the construction time of the reduced model increases rapidly with the cubic power of the system size. In this paper, Stiffness Evaluation method based on Element Connectivity (SEEC) is proposed. The element connectivity of the finite element models is used to evaluate the nonlinear stiffness coefficients. The proposed method minimizes the effect of the system size when the computational model is constructed. In addition, the Reduced Order Modeling (ROM) technique using Proper Orthogonal Decomposition (POD) is applied to enhance the efficiency of the SEEC method, which is referred to as SEECROM. This enables effective analysis and design of large-scale problems. Moreover, SEECROM is easily characterized by design parameters. The parameterization is readily achieved with element-wise nature of the proposed method. SEECROM is successfully demonstrated for structural dynamic analysis of geometrically nonlinear shell structures under the perturbation of external loads. SEECROM-Parameterization is also successfully demonstrated for static and dynamic analysis of hyperelastic materials that have material and geometric nonlinearities. In the case of flexible multibody systems, nonlinearities are caused by the rigid motions of the structure rather than the deformation of the flexible parts. Since the approaches to the multibody dynamics are different from the structural dynamics, the reduction methods which have been developed for the structural analyses cannot be utilized in direct manner. However, this can be achieved with the aid of Absolute Nodal Coordinate Formulation (ANCF), which takes the analogous format to the governing finite element formulation of structural dynamics. SEECROM method is combined to ANCF to form an efficient reduced model of the flexible multibody system. A number of examples are provided for the verification of the proposed reduction method and its parameterization. For the application to the optimization of nonlinear structures, it is vital that reduced order models be efficiently parameterized for the design parameters. SEECROM-Parameterization fits easily to the optimization problems concerning nonlinear systems. To show the validity of the proposed methodology, two sample optimization problems are subjected to a static structural system with a hyperelastic material and a multibody dynamic system.