A Proportional-Integral-Differential Control of Flows over a Circular Cylinder and in a Turbulent Plane Diffuser

Abstract

본 연구에서는 원형 실린더 후류의 보텍스 쉐딩과 난류 평판 디퓨저 내부 유동의 유동 박리를 비례-적분-미분 제어 방법을 통해 제어했다. 비례-적분-미분 제어는 지금까지 개발된 많은 되먹임 제어 방법들 중에서 가장 잘 알려진, 보편적이고 실용적인 제어 방법이지만, 유체역학 분야에서는 널리 쓰이지 않았고, 엄밀하게 연구되거나 논의되지 않았다. 그러므로, 우리는 비례-적분-미분 제어를 유동 제어 문제에 적용하여 이러한 제어 시스템들에서 제어 효과를 성취하려고 한다. 우선, 우리는 비례, 비례-적분, 비례-미분 되먹임 제어를 원형 실린더 주위 유동의 보텍스 쉐딩을 억제시키는데 적용하였다. 이 때 고려한 레이놀즈 수는 60과 100이며 자유 유동 속도(u∞), 원형 실린더의 지름(d), 유체의 동점성 계수(ν)로 무차원화 되었다. 원형 실린더의 중심선상에 위치한 한 점에서 측정한 수직 방향 속도가 되먹임 제어를 위한 측정값으로 사용되었다. 제어 가진은 원형 실린더의 윗면과 아랫면에서 각각 벽에 수직한 방향의 분사/흡입 경계 조건으로 주어졌으며, 제어기의 위치는 원형 실린더 유동의 유동 박리가 일어나는 점을 포함하고 있다. 되먹임 제어를 위한 측정 위치는 원형 실린더 후류의 중심선 상에서 1d부터 4d까지의 위치들이 고려되었다. 주어진 각각의 측정 위치에서, 측정 속도의 섭동량을 최소화 할 수 있는 최적의 비례 제어 상수가 결정되었다. 이에 더불어 적분 제어와 미분 제어를 비례 제어에 추가함으로써 제어 효과를 높일 수 있었고 효과적으로 제어가 잘 되는 측정 위치를 넓힐 수 있었다. 비례, 비례-적분, 비례-미분 되먹임 제어는 성공적으로 측정 속도의 섭동량을 줄여 보텍스 쉐딩을 억제시키고 결론적으로 항력과 양력 섭동량을 감소시켰다. 마지막으로, 성공적인 비례-적분 제어 결과들과 비례 제어의 위상 차를 고려한 제어의 비교가 이루어졌다. 비례 제어의 위상 차를 고려한 제어는 보텍스 쉐딩의 강도를 약화시킬 수 있었지만, 그에 상응하는 비례-적분 제어만큼 좋은 제어 결과를 보이지는 못했다. 다음으로, 우리는 되먹임 제어 최적화를 통해 비례-적분-미분 제어를 최적화하여 레이놀즈 수 60과 100의 원형 실린더 주위 유동에 적용하였다. 비례-적분-미분 제어의 제어 상수 값들은 가장 대표적인 모델링이 필요 없는 직접 최적화 방법인 반복게인조절(iterative feedback tuning) 방법에 의해 최적화되었다. 되먹임 제어의 최적화를 위해서 목적 함수 J가 설정되었으며, 목적 함수는 측정 속도의 제곱으로서 최적화된 제어기가 목적 함수를 최소화하면 측정 속도의 섭동량이 최소화 되도록 하였다. 목적 함수를 최소화하기 위해서, 제어 상수들은 목적 함수의 구배를 통해 제어 시스템이 특정한 최적화 완료 조건을 만족할 때까지 반복적으로 갱신되었고, 이는 제어 상수가 국부적 최적점에 도달했음을 의미한다. 최적화된 비례-적분-미분 되먹임 제어는 성공적으로 측정 속도의 섭동량을 줄여 보텍스 쉐딩을 억제시키고 결론적으로 항력과 양력 섭동량을 감소시켰다. 또한 우리는 최적화된 비례-적분-미분 되먹임 제어기의 물리적 의미에 대해 측정 속도의 위상 관계를 통해 살펴보았다. 그 결과, 최적화된 비례-적분-미분 되먹임 제어는 각각 다른 위치에서 측정한 측정 속도의 위상을 성공적인 비례 제어가 갖는 측정 속도의 위상으로 변화시킴을 확인했다. 그리고 우리는 비례 제어가 특정한 측정 위치에서는 효과적으로 보텍스 쉐딩을 억제시키지만 다른 측정 위치에서는 그렇지 못한 이유에 대해서도 살펴보았다. 이는 성공적인 제어가 이루어지는 측정 위치에서는 제어 가진에 의해 유도되는 가속도가 원형 실린더 유동에 작용하는 순간 양력과 밀접하게 연관되어 있어서, 이 위치에서의 측정 속도에 의해 주어지는 제어 가속도가 순간 양력을 상쇄시키는 방향으로 작용하기 때문으로 생각된다. 마지막으로, 본 연구에서 수행한 최적화 방법을 실제 실험에 적용할 수 있는지 여부에 대해서도 살펴보았다. 흥미롭게도 본 연구의 최적화 방법은 실제 실험에 적용할 수 있을 것으로 기대되며, 다른 되먹임 제어 방법들과는 달리 유동장 전체의 정보를 필요로 하거나 복잡한 모델링을 필요로 하지도 않는 것으로 생각된다. 최종적으로, 난류 평판 비대칭 디퓨저 내부 유동의 유동 박리 지연과 압력 회복을 위해 선형 비례 제어가 수행되었다. 레이놀즈 수는 입구 채널 유동의 반 높이(δ)와 벌크 평균 속도(ub), 동점성 계수(ν)를 기준으로 난류 유동인 9000이고, 이는 기존의 실험과 수치 해석 연구들과 같은 조건이다. 제어를 위한 가진은 디퓨저의 목 부분에서 벽에 수직한 방향의 분사/흡입으로 정의되었다. 되먹임 제어를 위한 측정값은 순간 벽 전단 응력으로 유동 박리가 일어난 아래쪽 벽에서 정의되었다. 비례 제어를 통해 박리 기포의 크기를 줄일 수 있었고, 디퓨저 위쪽 벽의 표면 마찰 저항을 줄일 수 있었으며, 결과적으로 디퓨저 출구에서의 압력 회복량을 향상시킬 수 있었다. 최적의 비례 제어 상수로 제어한 경우, 유동 박리 지연과 더불어 최대 5%의 압력 회복과 10%의 전압력 손실량 감소를 얻을 수 있었다.

In this study, we control the vortex shedding behind a circular cylinder and the flow separation inside a turbulent plane asymmetric diffuser by using a proportional-integral-differential (PID) control. The PID control is a well-known, very common and practical control method among the feedback control methods developed so far, however, it is not popular in fluid mechanics and is not rigorously studied and discussed. Therefore, we apply the PID control to the flow control problems to achieve control effectiveness on those flow systems. First of all, we apply the proportional (P), proportional-integral (PI) and proportional-differential (PD) feedback controls to flow over a circular cylinder at Re = u∞ d / ν = 60 and 100 for suppression of vortex shedding in the wake where u∞ is the free stream velocity, d is the diameter of the cylinder, and ν is the kinematic viscosity. The transverse velocity at a centerline location in the wake is measured and used for the feedback control. The actuation (blowing/suction) is provided to the flow at the upper and lower slots on the cylinder surface near the separation point based on the P, PI or PD control. The sensing location is varied from 1d to 4d from the center of the cylinder. Given each sensing location, the optimal proportional gain in the sense of minimizing the sensing velocity fluctuations is obtained for the P control. The additions of I and D controls to the P control certainly increase the control performance and broaden the effective sensing location. The P, PI and PD controls successfully reduce the velocity fluctuations at sensing locations and attenuate vortex shedding in the wake, resulting in the reductions of the mean drag and lift fluctuations. Finally, P controls with phase shift are constructed from successful PI controls. These phase-shifted P controls also reduce the strength of vortex shedding, but their results are not as good as those from the corresponding PI controls. Second, we perform a feedback gain optimization of the proportional-integral-differential (PID) control for flow over a circular cylinder at Re = 60 and 100. The PID control gains are optimized by an iterative feedback tuning method which is a typical model-free gain optimization method. For the feedback tuning, cost function J is constructed using the sensing velocity to obtain optimal control gains minimizing the velocity fluctuations at the sensing location. To minimize the cost function, the control gains are iteratively updated by gradient of cost function until the control system satisfies certain stopping criteria

it means that the feedback gains are converged to a local optimum. The PID control with optimal control gains successfully reduces the velocity fluctuations at the sensing location and attenuates (or annihilates) vortex shedding in the wake, resulting in the reduction of the mean drag and lift fluctuations. Also, we investigate the physical meaning of the optimized PID control gains with phase relations of the sensing velocities. As a result, present optimized PID controls move the phase of the sensing velocity to that of effective sensing position of the pure proportional control (xs / d = 3). In addition to this, the reason why the P control works only for the narrow range of the feedback sensor location and so sensitive to it is explained. The answer is that in such a successful sensing positions, the actuation induced acceleration is closely correlated to the instantaneous lift force acting on the cylinder, so sensing velocity of successful sensor location has information of instantaneous lift force to counterbalance it with the actuation induced acceleration. Finally, we discuss about the possibilities of present optimization method to real experiment. Interestingly, it is possible to use present method to real situations without any modeling and massive information in the flow field of given fluid systems. Finally, we perform a linear proportional control of turbulent flow in a planar asymmetric diffuser for separation delay and pressure recovery. The Reynolds number based on the half of inlet channel height (δ) and bulk mean velocity (ub) is Reb = ub δ / ν = 9000, which is the same condition as done by previous experimental and numerical studies. An actuation for the control is defined at the diffuser throat (x / δ = 0 to 1) as a wall-normal blowing and suction. A sensing variable (error) for the control is the instantaneous wall shear stresses at the lower diffuser wall. The linear proportional control successfully suppresses the separation bubble at the lower slant wall and reduces the skin friction at the upper flat wall, resulting in the pressure recovery at the exit of diffuser. At an optimal proportional gain, the present control produces 5% increase in the exit pressure and 10% reduction of total pressure loss with delayed separation.