A fast-slow dynamical systems theory for flocking and synchronization

Abstract

이 논문에서는, 우리는 플로킹과 동기화 모델들에 대해 연구한다. 특히, 쿠라모토 모델, 관성이 있는 쿠라모토 모델, 쿠커-스매일 모델과 레일레이 마찰이 있는 뉴턴 타입 모델을 다룬다. 우리는 특이 극한에서의 역학계의 질적인 기술을 유도하기 위하여 알스테인- 케브리키디스-슬렘로드- 티티의 특이 섭동을 위한 통일된 접근범을 이용한다. 제 2장에서는 알스테인-케브 리키디스- 슬렘로드-티티의 특이 섭동 이론과 평면에서의 포앙카레-벤딕슨 이론을 제시한다. 제 3장에서는 비동등 쿠라모토 진동자의 앙상블로부터 유도된 위상 동기 상태의 점근적 형성을 논의한다. 위상 동기 상태의 형 성 과정에서, 우리는 진동자 사이의 진동 수와 횡단 위상 차의 하한-상한 을 추정한다. 제 4장에서, 우리는 관성이 있는 쿠라모토 타입 모델을 위 한 패스트-슬로우 역학 시스템을 제시한다. 우리의 새로운 형태에서, 순서 매개변수는 특이 섭동의 알스테인-케브리키디스-슬렘로드-티티의 이론의 체계에서 직각의 하측치로서의 역할을 한다. 제 5장에서 우리는 평면에서 의 입자모델(쿠커-스매일 모델과 레일레이 마찰이 있는 뉴턴 타입 모델)의 패스트- 슬로우 역학계를 논의한다. 우리의 분석은 의사소통 하중의 최소 한의 가정을 사용한다. 제 6장에서는 플로킹 모델과 관련된 수학적 문제를 간단히 제시하고 이 논문을 요약한다.

In this thesis, we study about the flocking and synchronization models. In specially, we deal with Kuramoto model, Kuramoto model with inertia, Cucker-Smale type model and Newtonian type model with Rayleigh friction. We employ Artstein-Kevrekidis-Slemrod-Titis unified approach for the singular perturbation to derive a qualitative description of the dynamics in the singular limit. In chapter 2, we review AKSTs singular perturbation theory and planar Poincare-Bendixson theory. In chapter 3, we discuss the asymptotic formation of phase-locked states arising from the ensemble of non-identical Kuramoto oscillators. In the formation process of phase-locked states, we estimate the number of collisions between oscillators, and lower- upper bounds of the transversal phase differences. In chapter 4, we present a fast-slow dynamical systems theory for a Kuramoto type model with inertia. In our new formation, order parameters serve as orthogonal observables in the framework of AKSTs theory of singular perturbation. In chapter 5, we discuss fast-slow dynamic of planar particle models (Cucker-Smale type model and Newtonian type model with Rayleigh friction).Our analysis em- ploys minimal assumptions on the communication weight. In chapter 6, we briefly present a mathematical problems related by the flocking models and summary this thesis.