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Oscillatory Integrals, Spectral Multiplier Operators, Semilinear Elliptic Equations, and Pseudodifferential Calculus on Carnot Manifolds

DC Field Value Language
dc.contributor.advisorRaphael Ponge-
dc.contributor.author최우철-
dc.date.accessioned2017-07-14T00:41:13Z-
dc.date.available2017-07-14T00:41:13Z-
dc.date.issued2015-02-
dc.identifier.other000000024911-
dc.identifier.urihttps://hdl.handle.net/10371/121286-
dc.description학위논문 (박사)-- 서울대학교 대학원 : 수리과학부, 2015. 2. Raphael Ponge.-
dc.description.abstract논문의 구성은 크게 다음의 세 부분으로 나누어져 있다-
dc.description.abstract선형작용소의 정밀한 계측, 반선형 타원형 방정식, 그리고 캐놋 다양체위에서의 의미분 연산. 이 주제들은 직접적이거나 간접적으로 서로 연관이 되어있다.

첫 부분의 저자의 논문 [CH1, CH2, CH3] 을 바탕으로 하고 진동작용소와 분광 곱 연산자에 관한 정밀 계측을 얻는 것을 목표로 한다. 좀 더 구체적으로, 첫번째 논문 [CH1]에서는 하이젠베르그 군에서 정의된 강한 특수성을 가진 작용소의 $L^2$ 공간과 $H^p$ 공간에서의 바운드를 보인다. $L^2$ 공간 바운드를 위해 퇴화된 형태의 진동작용소 계측을 이용하고, $H^p$ 공간 바운드를 위해서는 하디 공간의 분자 분해를 이용한다. 두번째 논문 [CH2] 에서는 층상화된 군들에서 곱 작용소들의 최대함수들에 대한 정밀화된 $L^p$ 바운드를 구한다. 또한 층상화된 군들의 곱형태의 군에서도 관련된 바운드를 얻고, 하나의 응용으로 하이젠베르그 군에서 결합 분광 곱 작용소들의 최대함수에 대해서도 정밀화된 $L^p$ 바운드를 얻는다. 세번째 논문 [CH3]에서는 바운드가 없는 옹골한 다양체 위에서 정의된 양의 자체 수반 타원형 미분 작용소 $P$가 있을때, 헤르만더-미흘린 조건아래에서 이 작용소와 관련된 분광 곱 작용소들의 최대함수에 대한 정밀화된 $L^p$ 바운드를 구한다.

두번째 부분은 반선형 타원형 방정식들에 대한 공부이고, 논문 [CH4]와 공동 논문 [CKL, CKL2, CS1]을 기반으로 되어있다.

논문 [CH4]에서 우리는 유한 영역내에서 분수 라플라시안을 포함하며 강하게 엮여있는 시스템에 대해서 연구한다. 구체적으로, 우리는 존재성과 비존재성에 관한 결과들을 보이고, 기다스-스프럭 형태의 선 계측, 대칭 구조에 관한 결과를 보인다. 여기서 우리는 논문 [CT, T]에서 보여졌던 비선형 타원형 방정식들에 대한 선 계측에 대해서 새로운 증명을 얻는다.

김승혁 박사님, 이기암 교수님과의 공동 논문인 [CKL]에서는 분수 라플라시안을 포함한 비선형 타원형 방정식들에 대해서 임계지수와 관련되어 최소 에너지 해들의 점근 행동을 공부하고, 다중으로 버블링하는 해들의 존재성을 공부한다. 이것은 Han (1991) [H] 과 Rey (1990) [R] 결과의 비국부적 버전이라고 할 수 있다.

석진명 교수님과 함께 연구한 논문 [CS1]에서 우리는 옹골성이 없는 비국부적 반선형 타원형 방정식에 대해서 공부한다. 구체적으로, 우리는 유한 영역내에서 분수 계수 버전의 브레지스-니렌버르그 문제가 무한해를 갖는다는 것을 증명한다.

이 파트의 마지막 챕터는 김승혁 박사님, 이기암 교수님과의 공동 연구 논문 [CKL2] 을 바탕으로 한다. 이 논문의 목적은 3차원 이상에서 레인-엠덴-파울러 방정식의 임계지수근처에서 다중 버블링하는 해들에 대한 질적 성질들을 얻는데 있다. 각각의 $m$ 버블 해들에서 선형화된 문제를 공부하여, 우리는 처음 $(n+2)m$개의 고유함수와 고유치에 대해서 정확한 계측들을 보인다. 특별히, 우리는 4차원이상에서 다중 버블 해의 모스-인덱스가 그란함수, 로빈함수들의 일차, 이차 미분들로 이루어진 대칭 행렬들로 규명되된다는 Bahri-Li-Rey (1995) 에 의한 고전적인 결과에 대한 새로운 증명을 제시한다. 우리의 증명은 3차원일 경우에도 적용이 된다.

세번째 파트는 라파엘 폰즈교수님과 함께한 논문 [CP1, CP2]를 바탕으로 쓰여졌다. 논문 [CP1] 에서는 캐놋 다양체의 내부적으로 주어진 접한 군 다발들을 정의하고 우선적 좌표에 대해서 공부를 한다. 이를 통해서 캐놋 다양체의 매끈한 접 이군을 정의한다. 이러한 공부들을 바탕으로 논문 [CP2] 에서는 캐놋 다양체위에서의 의미분 작용소에 대한 공부를 합니다. 적절한 의미분 작용소들의 모임을 정의하고 이 작용소들의 계산법을 정확히 구한다. 구체적으로는, 결합, 수반 작용소, 좌표 변환에 관한 구체적인 커널 전개를 구한다. 이것을 통해 우리는 약한 타원성을 가진 미분 작용소들의 역의 구체적인 커널 전개 표현을 얻어낼 수 있다. 또한 관련된 열 미분 작용소에 대한 열 커널 전개도 얻을 수 있다. 이것의 한 응용으로 케놋 다양체위에서의 분광 밴드의 성질을 공부할 수 있다.		-
dc.description.tableofcontents1. Introduction
1.1 Oscillatory Integrals and Spectral Mutiplier Operators
1.1.1 L2 and Hp boundedness of strongly singular operators and oscillating operators on Heisenberg groups
1.1.2 Maximal multiplier on Stratified groups and compact manfiolds without boundary
1.2 Semilinear Elliptic Equations and Fractional Laplacians
1.2.1 On strongly indefinite systems involving the fractional Laplacian
1.2.2 behavior of solutions for nonlinear elliptic problems with the fractional Laplacian
1.2.3 Infinitely many solutions for semilinear nonlocal elliptic equations under noncompact settings
1.2.4 Qualitative properties of multi-bubble solutions for nonlinear elliptic equations involving critical exponents
1.3 Pseudodifferential Calculus on Carnot Manifolds
1.3.1 Privileged coordinates and Tangent groupoid for Carnot manifolds
1.3.2 Pseudodierential calculus on Carnot manifolds

Part 1. Oscillatory Integrals and Spectral Mutiplier Operators
2 L2 and Hp boundedness of strongly singular operators and oscillating operators on Heisenberg groups [Ch1]
2.1 Introduction
2.2 Dyadic decomposition and Localization
2.3 L2 estimates
2.4 Hardy spaces on the Heisenberg groups
2.5 Hp estimates
2.6 Necessary conditions
3 Maximal functions for multipliers on stratified groups [Ch2]
3.1 Introduction
3.2 Kernels of multipliers on Stratified groups
3.3 Martingales on homogeneous space and its application to maximal multipliers
3.4 Maximal multipliers on product spaces
3.5 Bound of maximal multiplier on product spaces
4 Maximal functions of multipliers on compact manifolds without boundary [Ch3]
4.1 Introduction
4.2 Preliminaries
4.3 The proof of Proposition 4.2.2
4.4 Localization of the operator A(m		-
dc.description.tableofcontentsP)
4.5 Properties of the kernels and the Hardy-Littlewood maximal funtion
4.6 Martingale operators and the proof of Proposition 4.2.3
II Semilinear Elliptic Equations and Fractional Laplacians
5 On strongly indefinite systems involving the fractional Laplacian [Ch4]
5.1 Introduction
5.2 Preliminaries
5.2.1 Spectral definition of the fractional Sobolev spaces and fractional Laplacians
5.2.2 Extended problems of nonlinear systems
5.2.3 Definition of weak solutions
5.2.4 The sobolev embedding
5.2.5 Greens functions and the Robin function
5.3 The integral estimates
5.4 The proof of Theorem 5.1.1
5.5 On the nonlinear system (5.1)
6 Asymptotic behavior of solutions for nonlinear elliptic problems with the fractional
Laplacian [CKL]
6.1 Introduction
6.2 Preliminaries
6.2.1 Sharp Sobolev and trace inequalities
6.2.2 Greens functions and the Robin function
6.2.3 Maximum principle
6.2.4 Properties of the Robin function
6.3 The asymptotic behavior
6.4 Uniform boundedness
6.5 Location of the blowup point
6.6 Construction of solutions for (6.1) concentrating at multiple points
6.6.1 Finite dimensional reduction
6.6.2 The reduced problem
6.6.3 Definition of stable critical sets and conclusion of the proofs of Theorems
6.7 The subcritical problem
Appendices
6.A Proof of Proposition 6.4.7
6.B Technical computations in the proof of Theorem 6.1.4
6.B.1 Estimation of the projected bubbles
6.B.2 Basic estimates
6.B.3 Proof of Proposition 6.6.4
7 Infinitely many solutions for semilinear nonlocal elliptic equations under noncompact settings [ChS]
7.1 Introduction
7.2 Mathematical frameworks and preliminaries
7.2.1 Fractional Sobolev spaces, fractional Laplacians and fractional harmonic extensions
7.2.2 Weighted Sobolev and Sobolev-trace inequalities
7.2.3 Useful lemmas
7.3 Settings and Ideas for the proof of Theorem 7.1.2
7.4 A refined norm estimate
7.5 Integral estimates
7.6 End of proofs of main theorems
Appendices
7.A Proof of Lemma 7.5.2
7.B A variant of Mosers iteration method
7.C Local Pohozaev identity
8 Qualitative properties of multi-bubble solutions for nonlinear elliptic equations involving critical exponents [CKL2]
8.1 Introduction
8.2 Preliminaries
8.3 Proof of Theorem 8.1.1
8.4 Upper bounds for the l-th eigenvalues and asymptotic behavior of the `-th eigenfunctions, m + 1 =< l =< (n + 1)m
8.5 A further analysis on asymptotic behavior of the l-th eigenfunctions, m + 1 =< l
=< (n + 1)m
8.6 Characterization of the `-th eigenvalues, m + 1 =< l =< (n + 1)m
8.7 Estimates for the `-th eigenvalues and eigenfunctions, (n + 1)(m + 1) =< l =< (n + 2)m
Appendices
8.A A moving sphere argument
III Pseudodifferential Calculus on Carnot Manifolds
9 Privileged Coordinates and Tangent Groupoid for Carnot Manifolds
9.1 Introduction
9.2 Carnot Manifolds: Definitions and Main Examples
9.3 The Tangent Group Bundle of a Carnot Manifold
9.3.1 The tangent Lie algebra bundle g M
9.3.2 The tangent Lie group bundle GM
9.3.3 Description of ga M in terms of left-invariant vector fields
9.4 Privileged Coordinates for Carnot Manifolds
9.5 Nilpotent Approximation of Vector Fields
9.6 Carnot Coordinates
9.7 The Tangent Groupoid of a Carnot Manifold
9.7.1 Differentiable groupoids
9.7.2 The tangent groupoid of a Carnot manifold
Appendices
9.A A matrix computation for degree
10 Pseudodifferential calculus
10.1 Classes of Symbol and Pseudodifferential operators
10.1.1 Definition of PsiHDOs
10.2 Convolutions on nilpotent Lie groups
10.3 Pseudodifferential calculus
10.3.1 Composition of Pseudodifferential operators on vector fields
10.3.2 Invariance theorem of peudodifferential operators
10.3.3 Adjoint of pseudodifferential operators
10.4 Mapping properties on Lp
spaces
10.5 Rockland condition and the construction of parametrix
10.6 Heat equation
10.7 Holomorphic families of PsiHDOs
10.7.1 Kernels of holomorphic PsiHDOs
10.8 Complex powers of PsiHDOs
10.9 Spectral asymptotics for Hypoelliptic operators
Appendices
10.A Review on the class of symbols and kernels given at a point
10.A.1 Micellaneous
10.B Technical computations
10.C Some properties of distributions		-
dc.formatapplication/pdf-
dc.format.extent5487998 bytes-
dc.format.mediumapplication/pdf-
dc.language.isoen-
dc.publisher서울대학교 대학원-
dc.subjectsemilinear elliptic equations-
dc.subjectfractional Laplacians-
dc.subjectoscillatory integrals-
dc.subjectmaximal multipliers-
dc.subjectCarnot manifolds-
dc.subjectpseudodifferential calculus-
dc.subject.ddc510-
dc.titleOscillatory Integrals, Spectral Multiplier Operators, Semilinear Elliptic Equations, and Pseudodifferential Calculus on Carnot Manifolds-
dc.typeThesis-
dc.description.degreeDoctor-
dc.citation.pagesiv, 353-
dc.contributor.affiliation자연과학대학 수리과학부-
dc.date.awarded2015-02-
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