Dynamic Scaling for Synchronization of Coupled Oscillators

Abstract

서로 영향을 주고 받는 많은 개체들로 이루어진 계가 집단적인 행동을 하는 경우가 자주 있다. 집단적인 행동의 대표적인 예로 바로 동기화를 들 수 있다. 매우 간단한 경우로 각 개체를 위상을 갖고 있는 진동자로 생각하자. 진동자 마다 고유한 성질, 즉 고유 진동수를 갖고 있기 때문에 상호작용이 없을 때에 는 위상이 서로 다르다. 이제 진동자들이 강하게 상호작용을 하면, 시간이 갈 수록 진동자들은 점점 위상을 맞추어 가게 되고, 결국 거의 모든 진동자들이 평균 위상에 가까운 위상을 갖게 된다. 이를 위상 동기화가 일어났다고 한다. 결합된 진동자들의 위상 동기화를 모사하는 간단하면서도 대표적인 모 형으로 구라모토 모형이 있다. 이미 지난 수 십년 간 구라모토 모형에 관한 많은 연구들이 활발히 진행되었으며, 그 덕분에 위상 동기화에 대한 흥미로 운 연구 결과들도 많이 알려져 있다. 1장 도입부에서는 동기화와 구라모토 모형을 소개하고, 선행 연구들이 밝혀 낸 연구 결과들을 간략히 소개하였다. 이 학위 논문은 본인이 물리학 박사 과정 동안 연구한 동기화와 관련된 주제 두 가지를 다룬다. 첫 번째 연구는 구라모토 모형의 동적 축척 현상에 대한 연구다. 지금까지의 선행 연구들 대부분은 동기화를 보이는 계의 정상 상태에 초점을 맞추었으나, 우리는 계가 정상 상태에 들어가기 전 동적 상태 에 있을 때에도 초점을 맞추었다. 그 결과 결합 상수가 임계점 근처일 때, 구 라모토 모형의 질서도가 시간에 따라 멱함수 꼴로 변화하는 것을 발견하였고, 이에 맞는 동적 축적 함수를 제안하였다. 계의 크기를 변화시키면서 시간에 따른 질서도의 변화를 구하고 동적 축척 관계를 이용하면, 여러 크기의 계로 그린 그래프들이 하나로 겹쳐지는 것을 확인할 수 있다. 더 나아가서 여기에 사용된 동적 축척 지수들은 유한 크기 축척 이론에서 이미 알려진 정적 축척 지수로 설명될 수 있음을 보였다. 완전히 연결되어 있는 네트워크, n차원 정방형격자, 무작위로 연결된 네트워크, 그리고 축척 없는 네트워크에서 구라 모토 모형의 질서도에 대한 동적 축척 관계를 확인하였다. 각 진동자의 고유 진동수들의 분포로는 정규분포를 사용하였는데, 고유 진동수들이 똑같이 이 분포를 따르더라도 어떻게 생성되었느냐에 따라 질서도의 시간적 변화 양상 이 달라지는 것을 발견하였다. 2장에서는 동적 축척 관계를 해석하는 데 바탕 이 되는 유한 크기 축척 이론에 대하여 다루고, 3장에서는 동적 축척 관계에 대하여 실었다. 결합 상수가 임계점 근처에서 동적 축척 관계가 존재한다는 사실 자체 로도 의미가 있으나, 이것이 중요한 이유가 한 가지 더 있다. 진동자 수가 아주 많은 계에서 임계 결합 상수를 컴퓨터 수치 계산으로 찾으려면, 계산 시 간이 오래 걸린다. 구라모토 모형이 기술하는 미분 방정식으로 dt 시간 후의 위상들을 한 번 계산하는 데 걸리는 시간은 최적화를 하더라도 계의 크기에 비례하여 증가하며, 현실적으로 dt 시간 후의 위상들을 구하는 작업을 무한히 반복할 수도 없다. 동적 축척 관계에 대한 지식이 있으면, 계가 정상 상태에 도달할 때까지 계산할 필요 없이 동적 상태에 있을 때의 질서도의 변화를 분석하여 임계 결합 상수를 구할 수 있으므로 계산 시간을 크게 줄일 수 있 게 된다. 임계점 근처에서 질서도가 멱함수 법칙을 따르는 현상을 이용하여 상대적 오차가 천분의 일 보다 작을 정도로 임계 결합 상수를 구별해 낼 수 있었다. 두 번째 주제는 구라모토 모형을 클러스터링 문제에 응용한 연구로 4 장에서 다루었다. 클러스터링은 복잡계 네트워크에서 모듈 구조를 찾는 문제 인데, 구라모토 모형의 상호작용 함수에 링크 중앙성에 의존하는 새 항을 도 입하여 클러스터링에 활용하였다. 이 항이 도입되면서 링크 중앙성의 크기에 따라 링크 양 끝에 위치한 진자 사이에 0에서 까지의 위상차가 생기게 된 다. 변형된 구라모토 모형을 모듈 구조를 갖는 복잡계 네트워크에 적용하면, 각각의 모듈 안에서는 위상 동기화가 일어나는 반면, 전체 네트워크는 계속 무질서한 상태에 남아있게 된다. 이 현상을 바탕으로 기존의 다른 클러스터 링 방법들과 비교하여 상대적으로 계산 시간은 적으면서도 정확도는 비슷한 새로운 클러스터링 알고리즘을 제안하였다. 마지막 5장에서 본 학위 논문 내용을 요약하고, 결론을 내리고 마무리 하였다. 부록에는 구라모토 모형을 직접 수치 계산하는 데 있어서 도움이 될 만한 정보 몇 가지를 실었다.

Systems with many elements interacting with each other often show collective behaviors. Synchronization is a typical example of the collective behaviors. At initial time, phases are different from each other because of the unique characteristics of each element (oscillator). As time goes on, interacting with others strongly, the oscillators adjust their phases and finally set the phases to almost mean phase of their neighbors. The Kuramoto model is a simple and representative model for synchronization of coupled oscillators. For past decades many studies on the Kuramoto model has discovered much interesting results on synchronization of coupled oscillators. In the introduction, a little amount of these results of the previous studies on the Kuramoto model is introduced. This dissertation has two main studies related to synchronization. The first part is a study on dynamic scaling for the Kuramoto model. Until now, most of the previous studies has focused on the steady states. We also focus on temporal behavior of order parameter before the system goes to the steady state. We found that the order parameter of Kuramoto model evolves following a power-law of t at critical coupling strength Kc and conjectured dynamic scaling form of the Kuramoto model at the criticality. With several system sizes, we show that the r v.s. t graphs collapse into one single curve by using this scaling relation. And furthermore, the scaling exponents are explained by already-known exponents from finite-size scaling. All-toall network, n-dimensional square lattices, classical random (Erdös-Rényi, ER) networks and scale-free (SF) networks are tested with natural frequencies chosen from Gaussian distribution. We also found that how to generate the natural frequencies from Gaussian distribution also affects temporal behaviors of the order parameter. In chapter 2, the finite-size scaling theory is described and confirmed numerically that is a base of dynamic scaling relation. And in chapter 3, we study dynamic scaling extensively. The existence of dynamic scaling relation at critical point is an end in itself, and besides there is another reason why it is important practically. One may want to measure order parameter for very long simulation time to find a critical coupling strength with large system size N. But considering the computational cost of numerical integration for Kuramoto dynamics, there is always a practical limit of system size N or allowed simulation time. Thanks to the knowledge of dynamic scaling relation, one can find Kc in short simulation time even though the system does not enter to the steady state yet. The power-law behavior of order parameter distinguishes Kc very well and catches Kc clearly with a resolution of (K−Kc)/Kc ~ O(10−3). The second part of this dissertation is a kind of application of Kuramoto model to clustering problems and chapter 4 treats it. Clustering is to find modular structures of complex networks. We modify the Kuramoto model by introducing an additional term depending on the link betweenness centrality (BC) in interaction function. The additional term induces phase difference (2 [0,pi]) between connected two oscillators as the BC on the link connecting them increases from the minimum to the maximum in the network. When this modified Kuramoto model is applied to networks with modular structure, the model drives each module to ordered state (phase synchronization), however the entire system remains in disordered state. Based on this phenomenon, we proposed a new clustering algorithm that shows quite good performance similar to other clustering algorithms and needs relatively little computational cost compared to other synchronization-based algorithms. Finally, chapter 5 is devoted to the conclusion of this study. And some information which is helpful to simulate the Kuramoto model is in Appendices.