조합을 이용한 같은 것이 있는 순열 지도 방안 연구

Abstract

실생활의 문제 상황을 분석하고, 그 문제 상황을 해결하기 위한 여러 가지 방안 중 가장 최적의 방안을 찾는 능력은 방대한 정보가 넘쳐나는 현대 사회가 요구하는 능력 중의 하나이다. Sriraman과 English(2004)는 조합론이 이 능력을 신장시켜줄 수 있는 최적의 과목이라고 하였다. 조합 문제는 그 해결에 있어 구조를 파악하는 능력과 사고의 유연성을 요구하며, 그 해결 방법이 다양한 특징을 보인다. NCTM은 학생들이 개념들을 연결할 수 있어야만 문제의 구조를 파악하는 능력 및 사고의 유연성을 신장할 수 있다고 하였다. 여러 선행 연구에 따르면 학생들은 조합론 내용의 학습에 있어 문제의 원리를 이해하지 못한 채 배운 공식에 대입하여 답을 구하는 데에만 초점을 맞추는 경향이 있다고 하였다. 원리를 이해하지 못하고 단순히 공식만을 적용시키는 학습은 학생들의 과정을 생각하는 능력을 퇴화시킨다. 이러한 학습으로 인하여 학생들이 사고의 고착에 빠질 수 있다고 Haylock(1997)은 이야기하였다. 선행 연구들은 사고의 고착은 관점의 전환으로서 극복할 수 있다고 하면서, 학생들이 사고의 고착을 극복하고 관점의 전환을 경험하기 위해 개념들 간의 관계를 파악하는 것을 강조하였다. 이 논문에서는 학생들이 순열과 조합의 관계를 파악할 수 있도록 같은 것이 있는 순열을 조합의 관점에서 바라보는 교수 학습 활동을 제안하였다. 이를 통해 학생들이 순열과 조합의 관계를 쉽게 파악하고, 관점을 전환하는 경험을 통하여 사고의 유연성을 기르며, 나아가 같은 것이 있는 순열을 정당화하는 과정을 학습함으로써 학생들이 조합 문제의 구조를 파악하는 능력을 신장시킬 수 있음을 보이고자 하였다. 본 연구는 먼저, 같은 것이 있는 순열을 학생들에게 조합의 관점에서 지도할 수 있는 교수 절차를 설계하였다. 교수 절차는 Ausubel의 선행조직자 수업모형을 기반으로 설계되었다. 이렇게 설계한 교수 절차를 바탕으로 최상위 수준의 학생들과 예비 수업 실험 및 인터뷰를 실시하였고, 그 결과를 바탕으로 내용을 수정 및 보완하여 보다 일반적인 수준의 학생들과 본 수업 실험 및 인터뷰를 실시하였다. 수업 및 인터뷰 결과 최상위 수준의 학생들은 이 교수학습 내용을 인지부조화 없이 자연스럽게 스스로 구성해 나갈 수 있었으며, 이 수업에 대하여 긍정적으로 평가하였다. 일반적인 수준의 학생들 역시 인지부조화 없이 자연스럽게 내용을 학습할 수 있었다. 평가 문항과 추가적인 심층 면접을 통해, 이 교수학습 활동이 학생들의 순열과 조합의 관계 파악 능력, 구조를 파악하는 능력, 사고의 유연성을 신장시킬 수 있음을 확인하였다.

It is the one of abilities which the modern society with affluent information requires to analyze the realistic problems and, in order to resolve them, search for an optimal solution among the possible ones. According to Sriraman and English(2004), combinatorics is the most appropriate subject to help students develop such abilities. When it comes to solving combinatorial problems, it is especially required to have the ability to understand a structure and flexibility of thinking, and there are a variety of possible solutions as well. NCTM, which stands for national council of teachers of mathematics, suggests that students should interconnect the concepts in order to promote the ability to figure out the structure and flexible thinking. According to the existing studies, as for learning combinatorics, students tend to focus on finding answers without understanding the principle of the given problems. Neglecting the principle and simply applying the formula can retard the students ability to comprehend the process. This learning, Haylock(1997) insists, can leave the students trapped in fixation. By mentioning that the fixation can be improved by a change of perspective, the previous studies emphasized that the students should understand the interconnectivity of the concepts so as to overcome fixation and experience the change of perspective. This research suggests the teaching and learning activity which helps students to figure out how permutations and combinations work together by understanding the permutations with repetition in terms of combinations. By completing this activity, they will be able to aware of the relation between permutations and combinations in easier way, promote the flexible thinking through experiencing the change of perspective. Eventually, by learning the process of justifying the permutations with repetition, students are intended to develop the ability to understand the structure of the combinatorial problems. This study designs the teaching procedures to deduce the formula for counting the number of permutations with repetition in terms of combinations. The procedures are constructed by following David P. Ausubels advanced organizer model. Based on these designed procedures, the preliminary experiment and interview are implemented by the advanced learners. Based on the outcome, the procedures are modified and conducted for the learners whose level is more general. On the basis of the instruction and interviews, the advanced learners show that they complete the activity without cognitive incongruity and evaluate the instruction in positive way. The normal students also can learn the contents naturally with no cognitive incongruity as well. With the result of the questionnaire and the additional depth interview, it can be confirmed that, through this teaching and learning activity. The students have become to promote the ability to understand the connectivity between permutations and combinations, the ability to grasp the structures, and the flexibility of thinking.