수학 영재 판별도구로서 비둘기 집 원리를 적용한 경우나누기문제의 고찰

Abstract

비둘기 집 원리 적용문제는 국제 수학 올림피아드를 비롯한 여러 분야에서 수학적 재능이 뛰어난 학생들의 문제해결능력을 측정하기 위해 사용되어 왔다. 이것은 비둘기 집 원리 적용문제가 수학적 영재성과 관련된 사고력을 측정하기에 적합하다는 것을 함의한다. 하지만, 비둘기 집 원리 적용 문제의 어떠한 특성 때문에 수학적 영재성을 측정하기에 적합한지, 그리고 측정될 수 있는 사고력은 무엇인지에 대해서 아직 논의된 바는 없다. 이에 본 연구에서는 비둘기 집 원리 적용 문제가 수학적 영재성의 판별도구로 적합한지 확인해보는 연구를 진행하였다.

이를 위하여 먼저 수학적 영재성과 경우나누기 문제, 비둘기 집 원리와 귀류법에 대하여 관련된 이론들을 검토하였다. 그리고 여러 문헌들에 제시되어 있는 비둘기 집 원리 적용 문제를 조사하고 분석하였다. 이를 바탕으로 수학적 영재성을 판별하기 적절할 것이라 예상되는 문제인 밴드문제와 정사각형 내 정육각형 배치 문제를 택하였다. 두 문제의 해결과정을 면밀히 분석하여 직관적 도약이 필요한 부분을 예상하고 이를 해결하는 과정에서 요구되는 사고력이 무엇인지 알아보았다. 이 후, 두 문제를 수학적 영재성이 있을 것이라고 예상되는 과학 고등학교 학생들에게 적용하여 그 반응을 분석하였다.

그 결과 밴드문제와 정사각형 내 정육각형 배치 문제를 해결하는 과정에서 요구되는 사고력이 기존에 논의되어 왔던 수학적 영재성의 판별 요소에 포함되어 있음을 확인할 수 있었을 뿐만 아니라, 이 문제들이 수학적 영재성을 판별하는 도구로서 적합하다고 할 수 있는 특징들을 가지고 있음이 관찰되었다.

첫째, 비둘기 집 원리 적용문제를 통해 판별될 수 있는 수학적 영재성은 학습의 영향을 덜 받는 사고와 관련되어 있음을 확인할 수 있었다. 둘째, 연구 결과를 통해 밴드문제와 정사각형 내 정육각형 배치 문제가 수학적 영재성이 있을 것이라고 예상되는 학생들도 해결하기 어려울 만큼 높은 난도를 가지고 있으며, 이를 좀 더 세분화 하여 정사각형 내 정육각형 배치 문제의 난도가 밴드문제보다 더 높다는 것을 확인할 수 있었다. 마지막으로 비둘기 집 원리 적용문제는 다양한 수학분야로부터의 소재를 활용할 수 있음을 문헌조사를 통하여 알 수 있었다. 실제로 밴드문제는 대수분야의 행렬을 활용한 반면, 정사각형 내 정육각형 배치 문제는 간단한 기하학적 소재를 바탕으로 하고 있다. 이와 같은 연구결과는 난이도를 적절히 조절하고 수학적 소재를 다양하게 활용하여 비둘기 집 원리 적용문제를 만든다면, 다양한 수학 분야에 관련한 높은 수준의 수학적 영재성을 더욱 세분화하여 판별할 수 있을 것임을 시사하며, 이는 비둘기 집 원리 적용문제가 수학적 영재성을 판별하는 도구로서 유용하게 활용될 수 있음을 뒷받침한다.